Question

【题目】在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．

（I）如图①，若∠F=50°，求∠BGF的大小；

（II）如图②，连接BD，AC，若∠F=36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．

Answer 1

【答案】（I）65°；（II）72°

【解析】

（I）如图①，连接OB，先利用切线的性质得∠OBF=90°，而OA⊥CD，所以∠OED=90°，利用四边形内角和可计算出∠AOB=130°，然后根据等腰三角形性质和三角形内角和计算出∠1=∠A=25°，从而得到∠2=65°，最后利用三角形内角和定理计算∠BGF的度数；

（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，利用切线的性质得OB⊥BF，再利用AC∥BF得到BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=144°，从而得到∠OBA=∠OAB=18°，接着计算出∠OAH=54°，然后根据圆周角定理得到∠BDG的度数．

解:（I）如图①，连接OB，

∵BF为⊙O的切线，

∴OB⊥BF，

∴∠OBF=90°，

∵OA⊥CD，

∴∠OED=90°，

∴∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣50°=130°，

∵OA=OB，

∴∠1=∠A=（180°﹣130°）=25°，

∴∠2=90°﹣∠1=65°，

∴∠BGF=180°﹣∠2﹣∠F=180°﹣65°﹣50°=65°；

（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，

∵BF为⊙O的切线，

∴OB⊥BF，

∵AC∥BF，

∴BH⊥AC，

与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣36°=144°，

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠OAB=（180°﹣144°）=18°，

∵∠AOB=∠OHA+∠OAH，

∴∠OAH=144°﹣90°=54°，

∴∠BAC=∠OAH+∠OAB=54°+18°=72°，

∴∠BDG=∠BAC=72°．