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    9．△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°．
    （1）如图1，点M是BA延长线上一点，连结CM，K是AC上一点，BK延长线交CM于N，∠MBN=∠MCA=15°，BK=8，求CM的长度；
    （2）如图2，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接DE，求证：AF=BE+$\sqrt{2}$DE；
    （3）将图2中的直线l旋转到△ABC的外部，其他条件不变，请直接写出AF、BE、DE的关系．

    分析 （1）过C作CD⊥AB于D，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，得到∠KBC=30°，根据直角三角形的性质得到BC=4$\sqrt{3}$，求得CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{6}$，解直角三角形即可得到结论；
    （2）如图2，连接DF，CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD，∠CDB=90°，由全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，推出△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到∠EDB=∠FDC，DE=DF，根据余角的性质得到∠EDF=90°，根据等腰直角三角形的性质得到EF=$\sqrt{2}$DE，于是得到结论；
    （3）BE+AF=$\sqrt{2}$DE，连接CD，DF，由（2）证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，由（2）证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=$\sqrt{2}$DE，即可得到结论．

    解答 解：（1）过C作CD⊥AB于D，
    ∵AC=BC，∠ACB=90°，
    ∴∠ABC=∠BAC=45°，
    ∵∠MBN=15°，
    ∴∠KBC=30°，
    ∵BK=8，
    ∴BC=4$\sqrt{3}$，
    ∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{6}$，
    ∵∠MCA=15°，∠BAC=45°，
    ∴∠M=30°，
    ∴CM=2CD=4$\sqrt{6}$；

    （2）∵BE⊥CE，
    ∴∠BEC=∠ACB=90°，
    ∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，
    ∴∠EBC=∠CAF，
    ∵AF⊥l于点F，
    ∴∠AFC=90°，
    在△BCE与△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠BEC=90°}\\{∠EBC=∠ACF}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
    ∴△ACF≌△CBE，
    如图2，连接DF，CD，
    ∵点D是AB的中点，
    ∴CD=BD，∠CDB=90°，
    ∵△ACF≌△CBE，
    ∴BE=CF，CE=AF，
    ∵∠EBD=∠DCF，
    在△BDE与△CDF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠EBD=∠FCD}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
    ∴△BDE≌△CDF，
    ∴∠EDB=∠FDC，DE=DF，
    ∵∠CDF+∠FDB=90°，∠EDB+∠BDF=90°，
    ∴∠EDF=90°，
    ∴△EDF是等腰直角三角形，
    ∴EF=$\sqrt{2}$DE，
    ∴AF=CE=EF+CF=BE+$\sqrt{2}$DE；

    （3）如图3，连接CD，DF，
    由（2）证得△BCE≌△ACF，
    ∴BE=CF，CE=AF，
    由（2）证得△DEF是等腰直角三角形，
    ∴EF=$\sqrt{2}$DE，
    ∵EF=CE+CF=AF+BE=$\sqrt{2}$DE．
    即AF+BE=$\sqrt{2}$DE．

    点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．

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