Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径做圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E．

（1）求证：DE为半圆O的切线；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据SSS证得△ODP≌△ODC，从而证得∠OPD＝∠OCD＝90°，即可证得结论；

（2）根据切线长定理和相似三角形的判定与性质得到：（AB﹣EB）2＝EB（2AB+EB），整理得到AB＝4EB，即可证得AE＝3EB，从而求得

（1）证明：连接OP，OD，

∵BC是⊙O的直径，

∴OP＝OC，

∵以点D为圆心、DA为半径做圆弧，

∴PD＝CD，

在△ODP和△ODC中，

，

∴△ODP≌△ODC（SSS），

∴∠OPD＝∠OCD＝90°，

∵P点在⊙O上，

∴DE为半圆O的切线；

（2）解：∵以点D为圆心、DA为半径做圆，延长ED与圆的另一个交点为H，连接AP,

四边形ABCD是正方形，

∴EA是⊙D的切线，

为圆D的直径，

∴EA2＝EPEH，

同理，EB是半圆O的切线，

∵DE为半圆O的切线，

∴EB＝EP，

∵AD＝PD＝AB，

∴（AB﹣EB）2＝EP（PH+EP）

∴（AB﹣EB）2＝EB（2AB+EB）

整理得AB＝4EB，

∴AE＝3EB，

∴．