Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E，交AD于点H过点C作CF∥AB交BE的延长线于点F．

（1）求证：△ABH∽△BFC；

（2）求证：BH2＝HEHF；

（3）若AB＝2，∠BAC＝45°，求BH的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可；

（2）连接CH，首先证明BH＝HC，再证明△CHE∽△FHC可得结论；

（3）延长CH交AB于M，由题意CM⊥AB．利用全等三角形的性质证明AM＝AE＝2，求出BM即可解决问题．

（1）证明：∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，

∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，

∵BE⊥AC，

∴∠BDH＝∠AEH＝90°，

∵∠AHE＝∠BHD，

∴∠DBH＝∠DAC＝∠BAD，

∵CF∥AB，

∴∠ABH＝∠F，

∴△ABH∽△BFC；

（2）连接CH．∵AD⊥BC，BD＝DC，

∴BH＝HC，

∴∠HBC＝∠HCB，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABH＝∠ACH，

∵CF∥AB，

∴∠ABH＝∠F，

∴∠HCE＝∠F，

∵∠CHE＝∠CHF，

∴△CHE∽△FHC，

∴，

∴HC2＝HEHF，

∵BH＝HC，

∴BH2＝HEHF；

（3）延长CH交AB于M，由题意CM⊥AB，

∵BE⊥AC，∠BAC＝45°，

∴∠ABE＝45°，

∴AE＝ABcos45°＝2×＝，

∵∠HAM＝∠HAE，∠HMA＝∠HEA，∠AMH＝∠AEH＝90°，

∴△AHM≌△AHE（AAS），

∴AM＝AE＝，

∴BM＝AB﹣AM＝2﹣，

在Rt△BHM中，BH＝＝2﹣2．