Question

如图所示，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据平行四边形对边相等可得AB=CD，然后求出AB=CE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠ECF，然后利用“角角边”证明△ABF和△ECF全等即可；
（2）根据平行四边形的对角相等可得∠ABC=∠D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AFC=∠ABC+∠BAF，然后求出∠ABC=∠BAF，再根据等角对等边可得AF=BF，根据全等三角形对应边相等可得BF=CF，AF=EF，从而得到AF=BF=EF=CF，再根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=CE，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠ECF，
在△ABF和△ECF中，

∠ABC=∠ECF ∠AFB=∠EFC AB=CE

，
∴△ABF≌△ECF（AAS）；

（2）证明：在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠D，
所以，∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∵∠AFC=2∠D，
∴∠ABC=∠BAF，
∴AF=BF，
∵△ABF≌△ECF，
∴BF=CF，AF=EF，
∴AF=BF=EF=CF，
∴四边形ABEC是矩形．

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，考虑利用对角线的关系判断矩形是解题的关键．