【题目】如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(﹣2,0)、B(0,1)、C(d,2).
(1)求d的值;
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上.请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线BC交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC′是平行四边形?如果存在,请求出点M和点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:作CN⊥x轴于点N,
∵A(﹣2,0)、B(0,1)、C(d,2),
∴OA=2,OB=1,CN=2,
∵∠CAB=90°,即∠CAN+∠BAO=90°,
又∵∠CAN+∠ACN=90°,
∴∠BAO=∠ACN,
在Rt△CNA和Rt△AOB中,
∵ ,
∴Rt△CNA≌Rt△AOB(AAS),
∴NC=OA=2,AN=BO=1,
∴NO=NA+AO=3,又点C在第二象限,
∴d=﹣3;
(2)
解:设反比例函数为y= (k≠0),点C′和B′在该比例函数图象上,
设C′(m,2),则B′(m+3,1),
把点C′和B′的坐标分别代入y= ,得k=2m;k=m+3,
∴2m=m+3,
解得:m=3,
则k=6,反比例函数解析式为y= ,点C′(3,2),B′(6,1),
设直线C′B′的解析式为y=ax+b(a≠0),
把C′、B′两点坐标代入得:
,
∴解得: ;
∴直线C′B′的解析式为y=﹣ x+3;
(3)
解:存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC′是平行四边形,理由为:
设Q是G C′的中点,令y=﹣ x+3中x=0,得到y=3,
∴G(0,3),又C′(3,2),
∴Q( , ),
过点Q作直线l与x轴交于M′点,与y= 的图象交于P′点,
若四边形P′G M′C′是平行四边形,则有P′Q=Q M′,
易知点M′的横坐标大于 ,点P′的横坐标小于 ,
作P′H⊥x轴于点H,QK⊥y轴于点K,P′H与QK交于点E,作QF⊥x轴于点F,
∵QF∥P′E,
∴∠M′QF=∠QP′E,
在△P′EQ和△QFM′中,
∵ ,
∴△P′EQ≌△QFM′(AAS),
∴EQ=FM′,P′Q=QM′,
设EQ=FM′=t,
∴点P′的横坐标x= ﹣t,点P′的纵坐标y=2yQ=5,点M′的坐标是( +t,0),
∴P′在反比例函数图象上,即5( ﹣t)=6,
解得:t= ,
∴P′( ,5),M′( ,0),
则点P′为所求的点P,点M′为所求的点M.
【解析】(1)过C作CN垂直于x轴,交x轴于点N,由A、B及C的坐标得出OA,OB,CN的长,由∠CAB=90°,根据平角定义得到一对角互余,在直角三角形ACN中,根据两锐角互余,得到一对角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,且AC=BC,利用AAS到三角形ACN与三角形AOB全等,根据全等三角形的对应边相等可得出CN=0A,AN=0B,由AN+OA求出ON的长,再由C在第二象限,可得出d的值;(2)由第一问求出的C与B的横坐标之差为3,根据平移的性质得到纵坐标不变,故设出C′(m,2),则B′(m+3,1),再设出反比例函数解析式,将C′与B′的坐标代入得到关于k与m的两方程,消去k得到关于m的方程,求出方程的解得到m的值,即可确定出k的值,得到反比例函数解析式,设直线B′C′的解析式为y=ax+b,将C′与B′的坐标代入,得到关于a与b的二元一次方程组,求出方程组的解得到a与b的值,即可确定出直线B′C′的解析式;(3)存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC′是平行四边形,理由为:设Q为GC′的中点,令第二问求出的直线B′C′的解析式中x=0求出y的值,确定出G的坐标,再由C′的坐标,利用线段中点坐标公式求出Q的坐标,过点Q作直线l与x轴交于M′点,与y= 的图象交于P′点,若四边形P′G M′C′是平行四边形,则有P′Q=Q M′,易知点M′的横坐标大于 ,点P′的横坐标小于 ,作P′H⊥x轴于点H,QK⊥y轴于点K,P′H与QK交于点E,作QF⊥x轴于点F,由两直线平行得到一对同位角相等,再由一对直角相等及P′Q=QM′,利用AAS可得出△P′EQ与△QFM′全等,根据全等三角形的对应边相等,设EQ=FM′=t,由Q的横坐标﹣t表示出P′的横坐标,代入反比例函数解析式确定出P′的纵坐标,进而确定出M′的坐标,根据P′H﹣EH=P′H﹣QF表示出P′E的长,又P′Q=QM′,分别放在直角三角形中,利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解得到t的值,进而确定出P′与M′的坐标,此时点P′为所求的点P,点M′为所求的点M.
【考点精析】关于本题考查的全等三角形的性质,需要了解全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等才能得出正确答案.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了解学生最喜爱的球类运动,某初中在全校2000名学生中抽取部分学生进行调查,要求学生只能从“A(篮球)、B(羽毛球)、C(足球)、D(乒乓球)”中选择一种.
(1)小明直接在八年级学生中随机调查了一些同学.他的抽样是否合理?请说明理由.
(2)小王从各年级随机抽取了部分同学进行调查,整理数据,绘制出下列两幅不完整的统计图.请根据图中所提供的信息,回答下列问题:
①请将条形统计图补充完整;
②估计该初中最喜爱乒乓球的学生人数约为 人.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】我们经常遇到需要分类的问题,画“树形图”可以帮我们不重复、不遗漏地分类.
(例题)在等腰三角形ABC中,若∠A=80°,求∠B的度数.
∠A、∠B都可能是顶角或底角,因此需要分成如图1所示的3类,这样的图就是树形图,据此可求出∠B=
(应用)
(1)已知等腰三角形ABC周长为19,AB=7,仿照例题画出树形图,并直接写出BC的长度;
(2)将一个边长为5、12、13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形,图2就是其中的一种拼法,请你画出其他所有可能的情形,并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度.(选用图3中的备用图画图,每种情形用一个图形单独表示,并用①、②、③…编号,若备用图不够,请自己画图补充)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线AB、CD相交于点O.已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成两个角,且∠AOE:∠EOC=2:3.
(1)求∠AOE的度数;
(2)若OF平分∠BOE,问:OB是∠DOF的平分线吗?试说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】由于受金融危机的影响,某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元.如果卖出相同数量的手机,那么去年销售额为8万元,今年销售额只有6万元.
(1)今年甲型号手机每台售价为多少元?
(2)为了提高利润,该店计划购进乙型号手机销售,已知甲型号手机每台进价为1000元,乙型号手机每台进价为800元,预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台,请问有几种进货方案?
(3)若乙型号手机的售价为1400元,为了促销,公司决定每售出一台乙型号手机,返还顾客现金a元,而甲型号手机仍按今年的售价销售,要使(2)中所有方案获利相同,a应取何值?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在等边△ABC中,D,F分别为CB,BA上的点,且CD=BF,以AD为边作等边三角形ADE。
求证:(1)△ACD≌△CBF;
(2)四边形CDEF为平行四边形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=18cm,BC=12cm,BF=10cm,点M在棱AB上,且AM=6cm,点N是FG的中点,一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为____.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com