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【题目】如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(﹣2,0)、B(0,1)、C(d,2).

(1)求d的值;
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上.请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线BC交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC′是平行四边形?如果存在,请求出点M和点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:作CN⊥x轴于点N,

∵A(﹣2,0)、B(0,1)、C(d,2),

∴OA=2,OB=1,CN=2,

∵∠CAB=90°,即∠CAN+∠BAO=90°,

又∵∠CAN+∠ACN=90°,

∴∠BAO=∠ACN,

在Rt△CNA和Rt△AOB中,

∴Rt△CNA≌Rt△AOB(AAS),

∴NC=OA=2,AN=BO=1,

∴NO=NA+AO=3,又点C在第二象限,

∴d=﹣3;


(2)

解:设反比例函数为y= (k≠0),点C′和B′在该比例函数图象上,

设C′(m,2),则B′(m+3,1),

把点C′和B′的坐标分别代入y= ,得k=2m;k=m+3,

∴2m=m+3,

解得:m=3,

则k=6,反比例函数解析式为y= ,点C′(3,2),B′(6,1),

设直线C′B′的解析式为y=ax+b(a≠0),

把C′、B′两点坐标代入得:

∴解得:

∴直线C′B′的解析式为y=﹣ x+3;


(3)

解:存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC′是平行四边形,理由为:

设Q是G C′的中点,令y=﹣ x+3中x=0,得到y=3,

∴G(0,3),又C′(3,2),

∴Q( ),

过点Q作直线l与x轴交于M′点,与y= 的图象交于P′点,

若四边形P′G M′C′是平行四边形,则有P′Q=Q M′,

易知点M′的横坐标大于 ,点P′的横坐标小于

作P′H⊥x轴于点H,QK⊥y轴于点K,P′H与QK交于点E,作QF⊥x轴于点F,

∵QF∥P′E,

∴∠M′QF=∠QP′E,

在△P′EQ和△QFM′中,

∴△P′EQ≌△QFM′(AAS),

∴EQ=FM′,P′Q=QM′,

设EQ=FM′=t,

∴点P′的横坐标x= ﹣t,点P′的纵坐标y=2yQ=5,点M′的坐标是( +t,0),

∴P′在反比例函数图象上,即5( ﹣t)=6,

解得:t=

∴P′( ,5),M′( ,0),

则点P′为所求的点P,点M′为所求的点M.


【解析】(1)过C作CN垂直于x轴,交x轴于点N,由A、B及C的坐标得出OA,OB,CN的长,由∠CAB=90°,根据平角定义得到一对角互余,在直角三角形ACN中,根据两锐角互余,得到一对角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,且AC=BC,利用AAS到三角形ACN与三角形AOB全等,根据全等三角形的对应边相等可得出CN=0A,AN=0B,由AN+OA求出ON的长,再由C在第二象限,可得出d的值;(2)由第一问求出的C与B的横坐标之差为3,根据平移的性质得到纵坐标不变,故设出C′(m,2),则B′(m+3,1),再设出反比例函数解析式,将C′与B′的坐标代入得到关于k与m的两方程,消去k得到关于m的方程,求出方程的解得到m的值,即可确定出k的值,得到反比例函数解析式,设直线B′C′的解析式为y=ax+b,将C′与B′的坐标代入,得到关于a与b的二元一次方程组,求出方程组的解得到a与b的值,即可确定出直线B′C′的解析式;(3)存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC′是平行四边形,理由为:设Q为GC′的中点,令第二问求出的直线B′C′的解析式中x=0求出y的值,确定出G的坐标,再由C′的坐标,利用线段中点坐标公式求出Q的坐标,过点Q作直线l与x轴交于M′点,与y= 的图象交于P′点,若四边形P′G M′C′是平行四边形,则有P′Q=Q M′,易知点M′的横坐标大于 ,点P′的横坐标小于 ,作P′H⊥x轴于点H,QK⊥y轴于点K,P′H与QK交于点E,作QF⊥x轴于点F,由两直线平行得到一对同位角相等,再由一对直角相等及P′Q=QM′,利用AAS可得出△P′EQ与△QFM′全等,根据全等三角形的对应边相等,设EQ=FM′=t,由Q的横坐标﹣t表示出P′的横坐标,代入反比例函数解析式确定出P′的纵坐标,进而确定出M′的坐标,根据P′H﹣EH=P′H﹣QF表示出P′E的长,又P′Q=QM′,分别放在直角三角形中,利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解得到t的值,进而确定出P′与M′的坐标,此时点P′为所求的点P,点M′为所求的点M.
【考点精析】关于本题考查的全等三角形的性质,需要了解全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等才能得出正确答案.

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