Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，M为x轴正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连结AC，交y轴于点E．若D点的坐标为（0，1），B点的坐标为（3，0）．

（1）求M点的坐标；
（2）若∠CPA=30°，求CE的长；
（3）在（2）的条件下若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点Q．过C、Q、P作⊙N，弦FQ⊥PQ，试找出线段CQ，FQ，PQ之间的固定的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）作辅助线，利用点的坐标与线段长之间的关系及射影定理即可解决问题；
（2）作辅助线，运用切线的性质定理、等边三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系等知识解决问题；
（3）作辅助线，构造直角三角形，运用勾股定理及直角三角形的边角关系解决问题．

解答：解：（1）如图1，连接AD、BD；
∵AB为⊙M的直径，
∴AD⊥BD；
又∵DO⊥AB，
∴DO²=A0•BO；
而B、D两点的坐标分别为（3，0）、（0，1），
∴OD=1，OB=3；
故AO=

1

3

，AB=3+

1

3

=

10

3

，AM=

5

3

，OM=

4

3

，
∴点M的坐标为(

4

3

，0)

（2）连接CB、CM；
∵CP为⊙M的切线，
∴CM⊥PC，
又∵∠CPA=30°，
∴∠CMO=90°-30°=60°；
∵MC=MB，
∴△MBC是等边三角形
故∠ABC=60°，∠CAB=30°；
∵cos30°=

AC

AB

，cos30°=

AO

AE

，
∴AC=

10

3

×

3

2

=

5 3

3

，AE=

AO

cos30°

=

1

3

×

2

3

=

2 3

9

；
∴CE=AC-AE=

5 3

3

-

2 3

9

=

13 3

9

．

（3）如图2，连接FP；过点P作PG⊥QC，交QC的延长线于点G；
由（2）可知∠QCP=120°；
又∵PQ平分∠CPA，
∴∠CPQ=15°，
故∠CQP=180°-120°-15°=45°；
∴∠QPC=90°-45°=45°，
故∠CQP=∠QPG，
∴QG=PG（设为x），
故QP=

x2+x2

=

2

x；
在直角△PCG中：
∵∠PCG=180°-120°=60°，∠CPG=30°，
∴tan30°=

CG

PG

，
故CG=

3

3

x，QC=x-

3

3

x；   
∵圆内接四边形对角互补，
∴∠QFP=180°-120°=60°；
∴tan60°=

QP

QF

，
故QF=

3

3

QP=

3

3

×

2

x=

6

3

x；
∴

2

QC=

2

(x-

3

3

x)=

2

x-

6

3

x，
而PQ=

2

x，
∴PQ=FQ+

2

CQ

点评：该命题是一道有关圆的综合性命题；综合考查了等边三角形的判定及其应用、射影定理、圆的切线的性质及其应用；勾股定理、直角三角形的边角关系及其应用等知识点；对几何知识的综合运用能力提出了较高的要求．