【题目】如图,正方形中.对角线AC、BD交于点
.点
,点
分别在线段
,线段
上,且
,连接
交
于
,连接
交
于
,
(1)如图1,若点为线段
中点,
求
的长;
(2)如图2,若平分
,求证:
;
(3)如图3,点在线段
(含端点)上运动.连接
,当线段
长度取得最大值时,直接写出
的值.
【答案】(1)BF=-1;(2)证明见解析;(3)cos∠HDO=
.
【解析】
(1)根据正方形的性质可得OA=OB,AB=OB,由点E为OB的中点可得OE=
OB,利用勾股定理列方程可求出OE的长,进而可求出AB的长,根据AF=OE,即可求出BF的长;
(2)如图,延长DG,交AB于M,根据角平分线的定义及外角的性质可得AD=DE,根据等腰三角形的性质及角的和差关系可证明DG垂直平分AE,根据直角三角形两锐角互余的性质可证明∠AMG=∠AHG,可得AM=AH,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得MG=GH,根据∠BFO=∠AMG可得FG=MG,即可得出FG=GH;
(3)如图,连接BH,可知BH≥HE,可得当点E与点B重合时,HE取得最大值,当点E与点B重合时,OB=AF,过点F作FN⊥BD于N,设OB=x,则AB=x,BF=
,由∠ABD=45°可得△BFN是等腰直角三角形,可得BN=
BF,根据DN=BD-BN可表示出DN的长,利用勾股定理可得DF=
,根据余弦的定义即可得答案.
(1)四边形ABCD时正方形,
∴OA=OB,AB=OB,
∵点为线段
中点,
∴OE=OB=
OA,
∵AE=,
∴OE2+(2OE)2=AE2,即5OE2=5,
解得:OE=1,(负值舍去)
∴OB=2,AB=,
∵AF=OE,
∴BF=AB-AF=-1.
(2)如图,延长DG,交AB于M,
∵AE平分∠BAC,∠BAC=45°,
∴∠BAE=∠EAO=22.5°,
∵∠AED=∠ABE+∠BAE=45°+22.5°=67.5°,∠DAE=∠DAO+∠EAO=45°+22.5=67.5°,
∴∠AED=∠DAE,
∴AD=DE=AB,
∵OE=AF,
∴AB-AF=DE-OE,即OD=BF,
∵OD=OB,
∴OB=BF,
∴∠BOF=∠BFO=(180°-45°)=67.5°,
∴∠AOG=90°-∠BOF=22.5°,∠BOF=∠AED,
∴EG=OG,∠EAO=∠AOG,
∴AG=EG=OG,
∴DG垂直平分AE,
∴∠AMG=90°-∠BAE=67.5°,∠AHG=90°-EAO=67.5°,
∴∠AMG=∠AHG=∠BFO,
∴FG=MG,AM=AH,
∵∠BAE=∠EAO,
∴MG=GH,
∴FG=GH.
(3)如图,连接BH,
∵点E在OB上运动,∠BOH=90°,
∴BH≥HE,
∴当点E与点B重合时,HE取最大值,
如图,当点E与点B重合时,过点F作FN⊥BD于N,设OB=x,则AB=,
∵OE=AF,
∴BF=(-1)x,
∵∠ABO=45°,
∴△FBN是等腰直角三角形,
∴BN=BF=
x,
∴DN=BD-BN=2x-x=
x,
∵AF=x,AD =AB =x,
∴DF==
x,
∴cos∠HDO==
.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在中,
,以
为弦的
与
相切于点
.
(1)求证:是
的切线;
(2)将中
以下部分沿直线
向上翻折.
①如图2,若翻折后的弧过中点
,并交
于点
,请判断
与
的关系,并说明理由.
②如图3,若,且翻折后的弧恰好过点
,则
的半径为________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知四边形为
的内接四边形,对角线
、
交于
,
.
(1)求证:;
(2)作的角分线
交
于点
,连接
,若
,连接
、
,
与
交于
,求证:
;
(3)在(2)的条件下,连接,延长
交
于点
,若
,
,求
的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知点为抛物线
上一动点,以
为顶点,且经过原点
的抛物线,记作“
”,设其与
轴另一交点为
,点
的横坐标为
.
(1)①当为直角三角形时,
________;
②当为等边三角形时,求此时“
”的解析式;
(2)若点的横坐标分别为1,2,3,……
(
为正整数)时,抛物线“
”,分别记作“
”,“
”…“
”,设其与
轴另一交点分别为
,
,
…
,过
,
,
,…,
作
轴的垂线,垂足分别为
,
,
,…,
.
①的坐标为________,
________;(用含
的代数式表示)
②当时,求
的值;
③是否存在这样的,使得
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】2020年2月9日起,受新冠疫情影响,重庆市所有中小学实行“线上教学”,落实教育部“停课不停学”精神.某重点中学初级为了落实教学常规,特别要求家校联动,共同保证年级
名学生上网课期间的学习不受太大影响.为了了解家长配合情况,年级对家长在“钉钉”上早读打卡的严格程度进行了调查,调查结果分为“很严格”,“严格”,“比较严格”和“不太严格”四类.年级抽查了部分家长的调查结果,绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图.
接着,年级对早读打卡“不太严格”的全体学生进行了第一次基础知识检测,同时召开专题家长会提醒,督促这些家长落实责任,并告知将再次进行检测.两周后,年级又对之前早读打卡“不太严格”的这部分学生进行了第二次基础知识检测.
[整理、描述数据]
以下是抽查的家长打卡“不太严格”的对应学生的两次检测(满分均为分)情况:
分数段 | |||||
第一次人数 | |||||
第二次人数 |
[分析数据]:
众数 | 中位数 | 平均数 | |
第一次 | |||
第二次 |
请根据调查的信息
(1)本次参与调查的学生总人数是___,并补全条形统计图;
(2)计算____,
____,并请你估计全年级所有被检测学生中,第二次检测得分不低于
分的人数;
(3)根据调查的相关数据,请选择适当的统计量评价学校对早读打卡“不太严格”的家长召开专题家长会的效果.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线(
、
为常数)的顶点为
,等腰直角三角形
的顶点
的坐标为
,
的坐标为
,直角顶点
在第四象限.
(1)如图,若该抛物线经过、
两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点在直线
上滑动,且与
交于另一点
.
①若点在直线
下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以
、
、
三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点
的坐标;
②取的中点
,连接
,
,求
的最大值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(0,3)与点B关于x轴对称,点C(n,0)为x轴的正半轴上一动点.以AC为边作等腰直角三角形ACD,∠ACD=90°,点D在第一象限内.连接BD,交x轴于点F.
(1)如果∠OAC=38°,求∠DCF的度数;
(2)用含n的式子表示点D的坐标;
(3)在点C运动的过程中,判断OF的长是否发生变化?若不变求出其值,若变化请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O,EF过点O与AD,BC分别交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,则四边形EFCD的周长_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某中学就本校学生对新冠肺炎防控有关知识的了解情况进行了一次随机抽样调查,图①、图②是他们根据采集数据绘制的两幅不完整的统计图(A:了解很少,B:了解一般,C:了解较多,D:了解很多).请你根据图中提供的信息解答以下问题:
(1)求本次抽取的学生人数;
(2)先求出、
两类学生人数,然后将图②补充完整;
(3)在扇形统计图中,计算出部分所对应的扇形圆心角的度数;
(4)若该学校共有1200名学生,请估计类的学生人数.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com