【题目】已知点
为抛物线
上一动点，以为顶点，且经过原点
的抛物线，记作“
”，设其与
轴另一交点为
，点的横坐标为
．
（1）①当
为直角三角形时，
________；
②当为等边三角形时，求此时“”的解析式；
（2）若点的横坐标分别为1，2，3，……
（为正整数）时，抛物线“”，分别记作“
”，“
”…“
”，设其与轴另一交点分别为
，
，
…
，过
，
，
，…，
作轴的垂线，垂足分别为
，
，
，…，
．
①的坐标为________，
________；（用含的代数式表示）
②当
时，求的值；
③是否存在这样的
，使得
？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①
，②
；（2）①
，
，②
，③存在，
【解析】
（1）①易知
是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则P（m，m），代入
即可求出m；
②当为等边三角形时，则P（m，
），代入求出m，可得P点和A点坐标，然后利用待定系数法求“
”的解析式即可；
（2）①根据二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的对称性可得答案；
②根据
列方程求解即可；
③如图，当
时，
，证明
，求出
，求出
，即可解决问题．
解：（1）①∵
为“”顶点，为直角三角形，
∴是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴P（m，m），
代入得：
，
∴
；
②如图1，过作
轴于
，
当是等边三角形时，
，
∴P（m，），
代入得：
，
∴
，
∴
，
，
设“”的解析式为：
，
将代入得，
，
解得：
，
∴“”的解析式为：
；
（2）①∵点为抛物线
上的点，
∴，；
②∵，
∴
，即
，
解得：
（舍去），
，
∴；
③存在，
如图，当时，，
∴
，
∵
坐标为
，
把
代入，得
，
∴
坐标为
，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∴．
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【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弧AE=弧BD，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BCE；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）若EC=1，CD=3，求cos∠DBA．
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【题目】在平面直角坐标系xOy中，函数
的图象G经过点
，直线
与y轴交于点B，与图象G交于点C.
（1）求m的值.
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W.
①当直线l过点
时，直接写出区域W内的整点个数.
②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围.
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【题目】如图，分别过第二象限内的点
作
，
轴的平行线，与，轴分别交于点
，
，与双曲线
分别交于点
，
．
下面三个结论，
①存在无数个点使
；
②存在无数个点使
；
③存在无数个点使
．
所有正确结论的序号是__________．
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【题目】下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程.
已知：线段
，
及∠O .
求作：△ABC，使得线段，及∠O分别是它的两边和一角.
作法：如图,
①以点O为圆心，长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M ,N；
②画一条射线AP，以点A为圆心，长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC ，则△ABC即为所求作的三角形.
请回答:
（1）步骤③得到两条线段相等，即 = ；
（2）∠A＝∠O的作图依据是 ；
（3）小红说小明的作图不全面，原因是 .
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【题目】如图，矩形OABC在直角坐标系中，延长AB至点E使得BE=BC连接CE，过A作AD//CE交CB延长线于点D，直线DE分别交x轴、y轴于F、G点，若EG：DF=1：4，且△BCE与△BAD面积之和为
，则过点
的双曲线
中
的值为____．
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【题目】如图，正方形
中．对角线AC、BD交于点
．点
，点
分别在线段
，线段
上，且
，连接
交
于
，连接
交
于
，
（1）如图1，若点为线段
中点，
求
的长；
（2）如图2，若平分
，求证：
；
（3）如图3，点在线段(含端点)上运动．连接
，当线段长度取得最大值时，直接写出
的值．
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【题目】游泳池换水清洗的整个过程为“排水-清洗-注水”．一个长方体的游泳池在一次换水清洗的过程中，排水速度是注水速度的2倍，清洗的时间为
，这次换水清洗过程中游泳池水量
与时间
之间的函数图像如图所示．
（1）这次换水清洗的过程中排水的速度为 
．
（2）求“注水”过程中
与
之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在该游泳池换水清洗的整个过程中，当池水的水位高度恰好是注满水的池中水位高度的
时，直接写出的值．
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