【题目】如图,矩形OABC在直角坐标系中,延长AB至点E使得BE=BC连接CE,过A作AD//CE交CB延长线于点D,直线DE分别交x轴、y轴于F、G点,若EG:DF=1:4,且△BCE与△BAD面积之和为,则过点的双曲线中的值为____.
【答案】3
【解析】
如图,过点E作EN⊥y轴于N,过点D作DM⊥x轴于M,设B(x、y),由矩形的性质及BE=BC可得△BCE是等腰直角三角形,可得∠BCE=45°,根据平行线的性质可得∠ADC=∠BCE=45°,可得△ABD是等腰直角三角形,可得BD=AB=y,根据平行线的性质可得∠NEG=∠BDE=∠MFD,可证明△NEG∽△MFD,△BDE∽△MFD,根据相似三角形的性质可得y2=4x2,根据△BCE与△BAD面积之和为可得x2+y2=,进而求出xy的值即可得答案.
如图,过点E作EN⊥y轴于N,过点D作DM⊥x轴于M,设B(x、y),
∴BC=x,AB=y,
∵BE=BC,四边形OABC是矩形,
∴△BCE是等腰直角三角形,
∴∠BCE=45°,
∵AD//CE,
∴∠ADC=∠BCE=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴BD=AB=y,
∵EN⊥y轴,DM⊥x轴,
∴四边形GCBE、BAMD都是正方形,
∴EG=BC=x,DM=AB=y,
∵∠GNE=∠DCG=∠FOG=90°,
∴EG//CD//OF,
∴∠NEG=∠BDE=∠MFD,
∴△NEG∽△MFD,△BDE∽△MFD,
∴,,
∵,
∴,,
∴y2=4x2,
∵△BCE与△BAD面积之和为,
∴x2+y2=,即x2+y2=,
∴x2+4x2=,
解得:x2=,
∴y2=4x2=6,
∴(xy)2=9,
∵点B在双曲线图象上,且图象在第一象限,
∴k=xy=3,
故答案为:3
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【题目】若一个两位数中,个位数字比十位数字大1,则称这个两位数为“递增数”.例如56就是一个“递增数”,现有2,3,4,5四个数字.
(1)若先抽出的数字3作为十位数,再从其余3个数字随机抽出1个数字为个位数,组成的两位数恰为“递增数”的概率为________.
(2)先从四个数中随机抽出一个数作为十位数,再从其余3个数字随机抽出1个数字为个位数.组成的两位数恰为“递增数”的概率是多少?请用列表或画树状图的方法分析.
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【题目】如图,在菱形中,,点为边上一动点(与点不重合),连接将的两边所在射线以点为中心,顺时针旋转分别交射线于点.
(1)依题意补全图形;
(2)若,求的大小(用含的式子表示) ;
(3)用等式表示线段与之间的数量关系,并证明.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是边BC上的动点,连接AD,点C关于直线AD的对称点为点E,射线BE与射线AD交于点F.
(1)在图1中,依题意补全图形;
(2)记(),求的大小;(用含的式子表示)
(3)若△ACE是等边三角形,猜想EF和BC的数量关系,并证明.
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【题目】已知点为抛物线上一动点,以为顶点,且经过原点的抛物线,记作“”,设其与轴另一交点为,点的横坐标为.
(1)①当为直角三角形时,________;
②当为等边三角形时,求此时“”的解析式;
(2)若点的横坐标分别为1,2,3,……(为正整数)时,抛物线“”,分别记作“”,“”…“”,设其与轴另一交点分别为,,…,过,,,…,作轴的垂线,垂足分别为,,,…,.
①的坐标为________,________;(用含的代数式表示)
②当时,求的值;
③是否存在这样的,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
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【题目】阅读下列材料:
对于任意正实数a、b,
∵,
当且仅当时,等号成立.
结论:在均为正实数)中,若为定值则当且仅当时,a+b有最小值.
拓展:对于任意正实数,都有当且仅当时,等号成立.
在(a、b、c均为正实数)中,若为定值,则当且仅当时,有最小值
例如:则,当且仅当,即时等号成立.
又如:若求的最小值时,因为当且仅当,即时等号成立,故当时,有最小值.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)若a为正数,则当a=______时,代数式取得最小值,最小值为_____;
(2)已知函数与函数,求函数的最小值及此时的值;
(3)我国某大型空载机的一次空载运输成本包含三部分:一是基本运输费用,共8100元;二是飞行耗油,每一百公里1200元;三是飞行报耗费用,飞行报耗费用与路程(单位:百公里)的平方成正比,比例系数为0.04,设该空载机的运输路程为百公里,则该空载机平均每一百公里的运输成本最低为多少?
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线(、为常数)的顶点为,等腰直角三角形的顶点的坐标为,的坐标为,直角顶点在第四象限.
(1)如图,若该抛物线经过、两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点在直线上滑动,且与交于另一点.
①若点在直线下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点的坐标;
②取的中点,连接,,求的最大值.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD =90°,AC是对角线.点E在BC的延长线上,且∠CED =∠BAC.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)BA与CD的延长线交于点F,若DE∥AC,AB=4,AD =2,求AF的长.
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