【题目】如图,矩形OABC在直角坐标系中,延长AB至点E使得BE=BC连接CE,过A作AD//CE交CB延长线于点D,直线DE分别交x轴、y轴于F、G点,若EG:DF=1:4,且△BCE与△BAD面积之和为,则过点
的双曲线
中
的值为____.
【答案】3
【解析】
如图,过点E作EN⊥y轴于N,过点D作DM⊥x轴于M,设B(x、y),由矩形的性质及BE=BC可得△BCE是等腰直角三角形,可得∠BCE=45°,根据平行线的性质可得∠ADC=∠BCE=45°,可得△ABD是等腰直角三角形,可得BD=AB=y,根据平行线的性质可得∠NEG=∠BDE=∠MFD,可证明△NEG∽△MFD,△BDE∽△MFD,根据相似三角形的性质可得y2=4x2,根据△BCE与△BAD面积之和为可得x2+y2=
,进而求出xy的值即可得答案.
如图,过点E作EN⊥y轴于N,过点D作DM⊥x轴于M,设B(x、y),
∴BC=x,AB=y,
∵BE=BC,四边形OABC是矩形,
∴△BCE是等腰直角三角形,
∴∠BCE=45°,
∵AD//CE,
∴∠ADC=∠BCE=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴BD=AB=y,
∵EN⊥y轴,DM⊥x轴,
∴四边形GCBE、BAMD都是正方形,
∴EG=BC=x,DM=AB=y,
∵∠GNE=∠DCG=∠FOG=90°,
∴EG//CD//OF,
∴∠NEG=∠BDE=∠MFD,
∴△NEG∽△MFD,△BDE∽△MFD,
∴,
,
∵,
∴,
,
∴y2=4x2,
∵△BCE与△BAD面积之和为,
∴x2+
y2=
,即x2+y2=
,
∴x2+4x2=,
解得:x2=,
∴y2=4x2=6,
∴(xy)2=9,
∵点B在双曲线图象上,且图象在第一象限,
∴k=xy=3,
故答案为:3
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【题目】若一个两位数中,个位数字比十位数字大1,则称这个两位数为“递增数”.例如56就是一个“递增数”,现有2,3,4,5四个数字.
(1)若先抽出的数字3作为十位数,再从其余3个数字随机抽出1个数字为个位数,组成的两位数恰为“递增数”的概率为________.
(2)先从四个数中随机抽出一个数作为十位数,再从其余3个数字随机抽出1个数字为个位数.组成的两位数恰为“递增数”的概率是多少?请用列表或画树状图的方法分析.
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【题目】如图,在菱形中,
,点
为
边上一动点(与点
不重合),连接
将
的两边所在射线
以点
为中心,顺时针旋转
分别交射线
于点
.
(1)依题意补全图形;
(2)若,求
的大小(用含
的式子表示) ;
(3)用等式表示线段与
之间的数量关系,并证明.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是边BC上的动点,连接AD,点C关于直线AD的对称点为点E,射线BE与射线AD交于点F.
(1)在图1中,依题意补全图形;
(2)记(
),求
的大小;(用含
的式子表示)
(3)若△ACE是等边三角形,猜想EF和BC的数量关系,并证明.
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【题目】已知点为抛物线
上一动点,以
为顶点,且经过原点
的抛物线,记作“
”,设其与
轴另一交点为
,点
的横坐标为
.
(1)①当为直角三角形时,
________;
②当为等边三角形时,求此时“
”的解析式;
(2)若点的横坐标分别为1,2,3,……
(
为正整数)时,抛物线“
”,分别记作“
”,“
”…“
”,设其与
轴另一交点分别为
,
,
…
,过
,
,
,…,
作
轴的垂线,垂足分别为
,
,
,…,
.
①的坐标为________,
________;(用含
的代数式表示)
②当时,求
的值;
③是否存在这样的,使得
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】阅读下列材料:
对于任意正实数a、b,
∵,
当且仅当
时,等号成立.
结论:在均为正实数)中,若
为定值
则
当且仅当
时,a+b有最小值
.
拓展:对于任意正实数,都有
当且仅当
时,等号成立.
在(a、b、c均为正实数)中,若
为定值
,则
当且仅当
时,
有最小值
例如:则
,当且仅当
,即
时等号成立.
又如:若求
的最小值时,因为
当且仅当
,即
时等号成立,故当
时,
有最小值
.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)若a为正数,则当a=______时,代数式取得最小值,最小值为_____;
(2)已知函数与函数
,求函数
的最小值及此时
的值;
(3)我国某大型空载机的一次空载运输成本包含三部分:一是基本运输费用,共8100元;二是飞行耗油,每一百公里1200元;三是飞行报耗费用,飞行报耗费用与路程(单位:百公里)的平方成正比,比例系数为0.04,设该空载机的运输路程为百公里,则该空载机平均每一百公里的运输成本
最低为多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线(
、
为常数)的顶点为
,等腰直角三角形
的顶点
的坐标为
,
的坐标为
,直角顶点
在第四象限.
(1)如图,若该抛物线经过、
两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点在直线
上滑动,且与
交于另一点
.
①若点在直线
下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以
、
、
三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点
的坐标;
②取的中点
,连接
,
,求
的最大值.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD =90°,AC是对角线.点E在BC的延长线上,且∠CED =∠BAC.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)BA与CD的延长线交于点F,若DE∥AC,AB=4,AD =2,求AF的长.
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