Question

【题目】如图，在菱形中，，点为边上一动点(与点不重合)，连接将的两边所在射线以点为中心，顺时针旋转分别交射线于点．

（1）依题意补全图形；

（2）若，求的大小(用含的式子表示) ；

（3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）详情见解析；（2）∠AFC=α+30°；（3）AF+AE=CG，证明见解析

【解析】

（1）按照要求，利用旋转的性质得出对应点的位置，从而得出答案即可；

（2）利用旋转性质得出∠ECF=∠ACG=120°，由此进一步求出∠ACE=∠FCG=α，然后结合菱形的选择可知∠DAC=∠BAC=30°，据此进一步求出答案即可；

（3）作CH⊥AG于点H，首先证明△ACE与△GCF全等，由此进一步得出HG=CG×cos∠CGH，据此进一步求得AG=CG，进而得出答案即可.

（1）补全的图形如图所示：

（2）由旋转性质可得：∠ECF=∠ACG=120°，

∴∠ACE+∠ACF=∠ACF+∠FCG，

∴∠ACE=∠FCG=α，

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，

∴∠DAC=∠BAC=30°，

∴∠AGC=30°，

∴∠AFC=α+30°；

（3）线段与之间的数量关系为：AF+AE=CG，证明如下：

如图，作CH⊥AG于点H，

由（2）可得：∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°，

∴CA=CG，

∴HG=AG，

在△ACE与△GCF中，

∵∠ACE=∠GCF，CA=CG，∠CAE=∠CGF，

∴△ACE△GCF（ASA），

∴AE=FG，

在Rt△HCG中，

HG=CG×cos∠CGH=CG，

∴AG=CG，

即：AF+AE=AF+FG=AG=CG，

∴线段与之间的数量关系为：AF+AE=CG.