Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD =90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED =∠BAC．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB=4，AD =2，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接BD，先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，证明∠BDC+∠CDE=90°，即BD⊥DE，即可得出DE与⊙O相切；

（2）先根据平行线的性质得∠BHC=∠BDE=90°，由垂径定理得AH=CH，由垂直平分线的性质得BC=AB=4，CD=AD=2，证明△FAD∽△FCB，列比例式得CF=2AF，设AF=x，则DF=CF-CD=2x-2，根据勾股定理列方程可解答．

解：（1）DE与⊙O相切，

理由是：连接BD，如下图，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上，
∴∠BCD=90°，
∴∠CED+∠CDE=90°．
∵∠CED=∠BAC，
又∵∠BAC=∠BDC，

∴∠CED=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，即∠BDE=90°，
∴DE⊥BD于点D，
∴DE与⊙O相切．

（2）如下图，BD与AC交于点H，

∵DE∥AC，
∴∠BHC=∠BDE=90°．
∴BD⊥AC．
∴AH=CH．
∴BC=AB=4，CD=AD=2．
∵∠FAD=∠FCB=90°，∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCB，

，

∴CF=2AF，

设AF=x，则DF=CF-CD=2x-2．
在Rt△ADF中，DF2=AD2+AF2，
∴（2x-2）2=22+x2．

解得： （舍去），

．