Question

8．如图，点A的坐标为（6，0），点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt△OBF和等腰Rt△ABE，∠FOB=∠ABE=90°，连结EF交y轴于P点．设BP=y，OB=x，请写出y关于x的函数表达式y=$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{1}{2}x（0＜x＜6）}\\{0（x=6）}\\{\frac{1}{2}x-3（x＞6）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 作EN⊥y轴于N，根据余角的性质得到∠NBE=∠BAO，推出△ABO≌△BEN（AAS），根据全等三角形的性质得到NE=OB=x，BN=AO=6，由△OBF是等腰直角三角形，得到BF=$\sqrt{2}$x，推出△OFP∽△PHE，根据相似三角形的性质得到$\frac{OP}{PN}=\frac{OF}{NE}$=1，得到OP=$\frac{1}{2}$ON=$\frac{1}{2}$（6+x即可得到结论．

解答 解：如图1，作EN⊥y轴于N，
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠BAO，
在△ABO和△BEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BNE}\\{∠BAO=∠NBE}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
，∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴NE=OB=x，BN=AO=6，
∵△OBF是等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$x，
∵∠FOP=∠ENP=90°，∠OPF=∠NPE，
∴△OFP∽△PHE，
∴$\frac{OP}{PN}=\frac{OF}{NE}$=1，
∴OP=$\frac{1}{2}$ON=$\frac{1}{2}$（6+x），
∴BP=OP-OB=3+$\frac{1}{2}$x-x=3-$\frac{1}{2}$x=y，（0＜x＜6），
当x=6时，y=0，∴F，E，B共线，
当x＞6时，如图2，同理得到：OP=$\frac{1}{2}$PN=$\frac{1}{2}$（6+x），PB=OB-OP=x-$\frac{1}{2}$（6+x）=$\frac{1}{2}$x-3=y．
∴y关于x的函数表达式为：y=$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{1}{2}x（0＜x＜6）}\\{0（x=6）}\\{\frac{1}{2}x-3（x＞6）}\end{array}\right.$．
故答案为：y=$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{1}{2}x（0＜x＜6）}\\{0（x=6）}\\{\frac{1}{2}x-3（x＞6）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．