Question

（1）如图（1），将△ABC纸片沿着DE对折，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，探索∠A，∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．

（2）如图（2），继续这样的操作，把△ABC纸片的三个角按（1）的方式折叠，三个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是__________．

（3）如果把n边形纸片也做类似的操作，n个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+…+∠2n的度数是__________  （用含有n的代数式表示）．

Answer 1

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】（1）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；

（2）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，又知∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，故能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和；

（3）利用（1）（2）的计算方法：类比得出答案即可．

【解答】解：（1）连接AA′，

∵∠1=∠BAA′+∠AA′E，∠2=∠CAA′+∠AA′D，

∴∠1+∠2=∠BAA′+∠AA′E+∠CAA′+∠AA′D=∠BAC+∠DA′E，

又∵∠BAC=∠DA′E，

∴∠1+∠2=2∠BAC；

（2）∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，

∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360°；

（3）∠1+∠2+∠3+…+∠2n

=2（∠B+∠C+∠A）（n﹣2）

=360°（n﹣2）．

【点评】本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，掌握折叠的性质是解决问题的关键．