Question

9．如图，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，BC=CD，F为DE的中点，M为AC中点，证明：FM⊥AC．

Answer 1

分析 根据题意，作出合适的辅助线，要证FM⊥AC，只要证点M为GH的中点，FG=FH即可，要证点M为GH的中点只要证AG=CH即可，要证FG=FH，只要说明PG=QH，根据已作出的辅助线可以推出前面的结论都是正确的，从而解答本题．

解答 证明：如右图所示：
过点E作QG⊥AC交CA的延长线于点G，交HF于点Q，
过点D作PH⊥AC交AC的延长线于点H，交GF于点P，
∴QG∥PH．
∴∠Q=∠DHF，∠EGF=∠DPF．
∵点F为DE的中点，
∴EF=DF．
在△EFQ和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠Q=∠DHF}\\{∠QFE=∠HFD}\\{EF=DF}\end{array}\right.$，
∴△EFQ≌△DFH（AAS）．
∴QE=FD，QF=HF．
同理可证，△EFG≌△DFP．
∴EG=DP，GF=PF．
∴QG=HP．
在△QGH和△PHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{QG=PH}\\{∠QGH=∠PHG}\\{GH=HG}\end{array}\right.$，
∴△QGH≌△PHG（SAS）．
∴QH=PG．
又∵QF=HF，GF=PF，
∴FG=FH．
作BT⊥GH于点T，
∵AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，BC=CD，
∴∠EGA=∠ATB=90°，∠EAG=∠ABT．
在△AEG和△BAT中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGA=∠ATB}\\{∠EAG=∠ABT}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△BAT（AAS）．
∴AG=BT．
同理可证，△CDH≌△BCT．
∴BT=CH．
∴AG=CH．
∵点M为AC的中点，
∴AM=MC．
∴MG=MH．
即点M为GH的中点，
∵FG=FH，
∴FM⊥AC．

点评 本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是能作出合适的辅助线，根据题意用数学中的分析法进行分析，然后找出所求结论需要的条件．