Question

如图，抛物线y=x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．

Answer 1

1）y=x²-x-2；（, -）；（2）△ABC是直角三角形；（3），△ACM最小周长是.

【解析】（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x² + bx-2上，∴× （-1 ）² + b× （-1） –2 = 0，解得

b =，∴抛物线的解析式为y=x²-x-2．

∴y=（x-）²-,∴顶点D的坐标为（, -）．

（2）当x = 0时，y = -2，∴C（0，-2），OC = 2，

当y = 0时，x²-x-2 = 0，  ∴x₁ = -1, x₂ = 4,∴B （4,0），

∴OA = 1，OB = 4，AB = 5，∵AB² = 25，AC² = OA² + OC² = 5，BC² = OC² + OB² = 20，

∴AC² +BC² = AB²，∴△ABC是直角三角形．

（3）点A关于对称轴的对称点B， BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MA的值最小，即△ACM周长最小，

可求直线BC的解析式为，∴，△ACM最小周长是.