Question

【题目】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设点D是在x轴上方的二次函数图象上的点，且△DAB的面积为5，求出所有满足条件的点D的坐标；

（3）能否在抛物线上找点P，使∠APB＝90°？若能，请直接写出所有满足条件的点P；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点D的坐标为（0，2）或（3，2）；（3）能，满足条件的点P的坐标为（0，2）或（3，2）.

【解析】

（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）设点D的纵坐标为m（m＞0），根据三角形的面积公式结合△DAB的面积为5，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点D的坐标；

（3）假设成立，等点P与点C重合时，可利用勾股定理求出AP、BP的长度，由AP2+BP2=AB2可得出此时∠APB=90°，再利用二次函数图象的对称性即可找出点P的另一坐标，此题得解．

解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，

∴，解得：，

∴该二次函数的解析式为．

（2）设点D的纵坐标为m（m＞0），

则，

∴m＝2．

当y＝2时，有，

解得：x1＝0，x2＝3，

∴满足条件的点D的坐标为（0，2）或（3，2）．

（3）假设能，当点P与点C重合时，

有，

∵，即AP2+BP2＝AB2，

∴∠APB＝90°，

∴假设成立，点P的坐标为（0，2）．

由对称性可知：当点P的坐标为（3，2）时，∠APB＝90°．

故满足条件的点P的坐标为（0，2）或（3，2）．