Question

已知：x、y、z满足方程组

x+2y-z=21 x-y+2z=12

，当x、y、z为何值时，

186

x2+y2+z2

有最大值？并求出这个最大值．

Answer 1

考点：二次函数的最值,解三元一次方程组

专题：

分析：根据所给方程组，易求x=15-z，y=z+3，再把x，y的值代入x²+y²+z²中，可得x²+y²+z²=3（z-4）²+186，可知当z=4时，有最小值是186，当x²+y²+z²=有最小值时，

186

x2+y2+z2

有最大值是1．

解答：解：由

x+2y-z=21 x-y+2z=12

得y-z=3，x+z=15，
∴x=15-z，y=z+3，
∴x²+y²+z²=（225-30z+z²）+z²+（z²-6z+9）=3z²-24y+234=3（z-4）²+186≥186，
当x²+y²+z²=186时，

186

x2+y2+z2

有最大值，最大值为

186

186

=1，
此时y=7，x=11，z=4．

点评：本题考查了二次函数的最值，解题的关键是解方程，用y的代数式表示x、z，以及整体代入．