Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，-2），过点A、C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x-2）（x+1），然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-1，0）、B（2，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x-2）（x+1）（a≠0）．
将x=0，y=-2代入，得-2=a（0-2）（0+1），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）（x+1），即y=x²-x-2；

（2）如图．由（1）知，抛物线的解析式为y=x²-x-2，则C（0，-2）．
设OP=x，则PA=PC=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，
解得，x=

3

2

，即OP=

3

2

．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．利用待定系数法求二次函数解析式时，注意合理利用抛物线解析式的三种形式．