Question

如图，在矩形ABCD中，∠OAD=∠ODA=

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∠BOC，求证：OB=OC=AB．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：通过全等三角形的判定定理SAS证得△AOB≌△DOC，则其对应边OB=OC．设∠OAD=∠ODA=x，则∠BOC=4x．利用矩形的性质和三角形内角和定理推知∠AOB=∠OAB即可．

解答：解：设∠OAD=∠ODA=x，则∠BOC=4x．
如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠CDA=90°，AB=DC．
又∠OAD=∠ODA，
∴∠BAO=∠CDA，AO=DO，
∴在△AOB与△DOC中，

AO=DO ∠BAO=∠CDO AB=DC

，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=

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（180°-4x）=90°-2x，
∴∠OBA=90°-∠OBC=90°-（90°-2x）=2x，∠OAB=90°-x，
∠AOB=180°-（90°-x）-2x=90°-x，
∴∠AOB=∠OAB，
∴AB=OB，
∴OB=OC=AB．

点评：此题考查了等腰梯形的性质及等腰三角形的性质，有一定的综合性，解答本题的关键是得出∠AOB=∠DOC，另外要求我们熟练掌握全都三角形的判定．