Question

【题目】如图，点F在ABCD的对角线AC上，过点F，B分别作AB，AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE=5，AD=8，sin∠CBE= ，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴ABEF是菱形；

（2）解：作DH⊥AC于点H，

∵ ，

∴∠CBE=30°，

∵BE∥AC，

∴∠1=∠CBE，

∵AD∥BC，

∴∠2=∠1，

∴∠2=∠CBE=30°，

Rt△ADH中， ，

DH=ADsin∠2=4，

∵四边形ABEF是菱形，

∴CD=AB=BE=5，

Rt△CDH中， ，

∴ ．

【解析】（1）易证四边形ABEF是平行四边形，再证AB=AF，即可得证；
（2）作DH⊥AC于点H，求得∠CBE=30°，再证明∠2=∠1=30°，求出AH的长，在Rt△CDH中求出CH的长，由AC=AH+CH可得.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和平行四边形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．