Question

若方程组

x2-y2=P 3xy+P(x-y)=P2

的解（x，y）为整数，求满足条件的质数P．

Answer 1

考点：高次方程

专题：

分析：先因式分解x²-y²=（x+y）（x-y），根据P为质数得出①当x+y=1时，x-y=P，②当x+y=P时，x-y=1，分别求出P的值．判定是否满足质数P求解．

解答：解：x²-y²=（x+y）（x-y）=p
∵P为质数，
∴当x+y=1时，x-y=P，
∵3xy+P（x-y）=P²，
∴

3

4

[（x+y）²-（x-y）²]+P²=P²，
∴

3

4

（1-P²）=0，解得P=±1（舍去P是质数），．
当x+y=P时，x-y=1，
∵3xy+P（x-y）=P²，
∴

3

4

[（x+y）²-（x-y）²]+P=P²，
∴

3

4

（P²-1）+P=P²，化简得P²-4P+3=0解得P=1或3．
∵P是质数，
∴P=3．
∴满足条件的质数P是3．

点评：本题主要考查了高次方程，解题的关键是明确质数的定义．