Question

【题目】矩形ABCD的对角线相交于点O，∠COE＝45°，过点C作CE⊥BD于点E，

（1）如图1，若CB＝1，求△CED的面积；

（2）如图2，过点O作OF⊥DB于点O，OF＝OD，连接FC，点G是FC中点，连接GE，求证：DC＝2GE．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由矩形的性质得出OA＝OC＝OB＝OD，由∠COE＝45°，CE⊥BD，证出△OCE是等腰直角三角形，得出OE＝CE，OC＝OE，设OE＝CE＝x，则OB＝OD＝OC＝x，得出DE＝（+1）x，BE＝（﹣1）x，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC2＝BE2+CE2＝（﹣1）2x2+x2＝（4﹣2）x2＝1，得出x2＝＝，由三角形面积公式即可得出答案；

（2）延长OF、EG交于点H，证明△GHF≌△GEC（AAS），得出GH＝GE，FH＝CE，证出ED＝OH，证明△CDE≌△EHO（SAS），得出CD＝EH，即可得出结论．

（1）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∵∠COE＝45°，CE⊥BD，

∴△OCE是等腰直角三角形，

∴OE＝CE，OC＝OE，

设OE＝CE＝x，则OB＝OD＝OC＝x，

∴DE＝（+1）x，BE＝（﹣1）x，

在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC2＝BE2+CE2＝（﹣1）2x2+x2＝（4﹣2）x2＝1，

∴x2＝＝，

∴△CED的面积＝DE×CE＝（+1）x2＝（+1）×＝；

（2）证明：延长OF、EG交于点H，如图所示：

∵OF⊥BD，CE⊥BD，

∴OF∥CE，∠EOH＝∠CED＝90°，

∴∠H＝∠CEG，

∵点G是FC中点，

∴GF＝GC，

在△GHF和△GEC中，，

∴△GHF≌△GEC（AAS），

∴GH＝GE，FH＝CE，

∴FH＝OE，

∵OF＝OD，

∴ED＝OH，

在△CDE和△EHO中，，

∴△CDE≌△EHO（SAS），

∴CD＝EH，

∵EH＝2GE，

∴CD＝2GE．