Question

10．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第四象限，一条直角边靠在两坐标轴上，且有点A（0，-2），点C（1，0），抛物线y=ax²-ax+2 经过点B．
（1）以AC为直角边的等腰三角形还能画3个，请画出来．
（2）求点B的坐标；
（3）求抛物线的解析式；
（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的定义，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得CD、BD的长，可得B点坐标；
（3）根据待定系数法，可得函数解析式；
（4）根据线段中点的坐标，可得P₁点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得P₂，P₃点坐标，根据点的坐标是否满足函数解析式，可得答案．

解答 解：（1）以AC为直角边的等腰三角形还能画3个，如图1：

（2）如图2，作BD⊥OC于D点，

∵等腰直角三角板ABC，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3．
在△AOC和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠AOC=∠CDB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△CDB  （AAS），
∴CD=AO=2，BD=OC=1．
∵D=OD+CD═1+2=3，
∴B点坐标为（3，-1）；
（3）将B点坐标代入函数解析式，得
9a-3a+2=-1，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
（3）如图3，作P₃D⊥OA于D点，
，
P₁、B关于C点对称，
P₁的横坐标为=2×1-3=-1，纵坐标为0-（-1）=1，即P₁（-1，1），
当x=-1时，y=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×（-1）+2=1，P₁在抛物线上；
∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∠1=∠3．
在△AP₂O和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠1}\\{∠AO{P}_{2}=∠COA}\\{A{P}_{2}=AO}\end{array}\right.$，
∴△AP₂O≌△COA  （AAS），
P₂O=AO=2，
P₂（-2，0），
当x=-2时，-$\frac{1}{2}$×（-2）²+$\frac{1}{2}$×（-2）+2=-1，
B₂不在抛物线上；
由△P₃DA≌△P₂OA，得
P₃D=P₂O=2，AD=AC=2，
OD=AD+AO=4，
即P₃（2，-4），
当x=2时，-$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{1}{2}$×2+2=1，
P₃不在抛物线上；
综上所述：在抛物线上在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形，P（-1，1）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质是求B点坐标的关键；利用待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的判定与性质求出P点坐标，再把P点坐标代入函数解析式检验是解题关键．