Question

5．如图，CD是等腰直角△ABC斜边上的高，E是AC上任意一点，DF⊥DE，交BC于F点．
（1）求证：S_△ACB=$\frac{（AE+BF）^{2}}{2}$；
（2）设EF交CD于G，比较∠CGF与∠CED的大小．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到CD=BD，利用ASA得到三角形CED与三角形BFD全等，利用全等三角形的对应边相等得到CE=BF，再由AC=AE+EC=AE+BF，即可得证；
（2）∠CGF=∠CED，理由为：由两对角相等的三角形相似得到三角形CED与三角形GDE相似，利用相似三角形的对应角相等，等量代换即可得证．

解答 （1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠EDC+∠GDF=∠GDF+∠FDB，即∠EDC=∠FDB，
在△ECD和△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠FBD}\\{CD=BD}\\{∠EDC=∠FDB}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△FBD（ASA），
∴CE=BF，
∴AE+BF=AE+EC=AC，
则S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC²=$\frac{（AE+BF）^{2}}{2}$；
（2）∠CGF=∠CED，理由为：
证明：∵△ECD≌△FBD，
∴DE=DF，∠CED=∠BFD，
∴△EDF为等腰直角三角形，
∵∠DEF=∠ECD=45°，∠EDC=∠GDE，
∴△EDC∽GDE，
∴∠EGC=∠CED，
∵∠CGF=∠EGC，
∴∠CGF=∠CED．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．