Question

【题目】如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y．

（1）当a＝2，y＝3时，求x的值；

（2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）x＝；（2）当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a2．

【解析】

（1）设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a﹣x，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积；

（2）利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．

解：设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a﹣x，

∵四边形EFGH是正方形，

∴EH＝EF，∠HEF＝90°，

∴∠AEH+∠BEF＝90°，

∵∠AEH+∠AHE＝90°，

∴∠AHE＝∠BEF，

在△AHE和△BEF中，，

∴△AHE≌△BEF（AAS），

同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，

∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a﹣x

∴EF2＝BE2+BF2＝（a﹣x）2+x2＝2x2﹣2ax+a2，

∴正方形EFGH的面积y＝EF2＝2x2﹣2ax+a2，

当a＝2，y＝3时，2x2﹣4x+4＝3，

解得：x＝；

（2）∵y＝2x2﹣2ax+a2＝2（x﹣a）2+a2，

即：当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a2．