Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式;

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

（3）在直线上是否存在点M，使得∠MAC=2∠MCA，若存在，求出M点坐标.若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）将A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；

（2）先证明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO＝45°，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的周长越大，求出直线AB的解析式为y＝x＋3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立，时，PD最大，求出m即可得到P点坐标；

（3）设直线与x轴交于点E，作点A关于直线的对称点D，则D(-1,0),连接MA，MD，MC，由∠MAC =2∠MCA可得MD=CD=2，勾股定理求出ME=，即可得M点坐标

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，

解得，

所以，抛物线的解析式为；

（2）∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x轴，

∴∠AEF=90°﹣45°=45°，

又∵PD⊥AB，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周长越大，

易得直线AB的解析式为y=x+3，

设与AB平行的直线解析式为y=x+m，

联立，

消掉y得，，

当，

即时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，

此时,

∴点，△PDE的周长最大；

(3)设直线与x轴交于点E，作点A关于直线

的对称点D，则D(-1,0),连接MA，MD，MC.

∴MA=MD,∠MAC=∠MDA=2∠MCA

∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2

∴ME=

∴