Question

10．关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{{x}^{3}-{x}^{2}+x≤k}\end{array}\right.$的正整数解只有2和3，则|k-21|+|k-52|+1975的值为（　　）

• A． 2004
• B． 2005
• C． 2006
• D． 2007

Answer 1

分析 由不等式组的正整数解只有2和3，得出1＜x≤3，将x=3代入不等式x³-x²+x≤k，可得k≥21，进一步利用绝对值的意义求得答案即可．

解答 解：∵关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{{x}^{3}-{x}^{2}+x≤k}\end{array}\right.$的正整数解只有2和3，
∴不等式的解集为1＜x≤3，
将x=3代入不等式x³-x²+x≤k，得k≥21，
∴|k-21|+|k-52|+1975=k-21+52-k+1975=2006．
故选：C．

点评 此题考查一元一次不等式组的整数解，注意利用特殊值求得k的取值范围是解决问题的关键．