Question

19．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x-1交于点A．点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C₁：y=x²+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C₁的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C₂：y=ax²+1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由过点（0，2）且平行于x轴的直线解析式为y=2，可求出点A的坐标，由点A关于直线x=1的对称点为B，可求出点B的坐标；
（2）由抛物线C₁：y=x²+bx+c经过点A，B，利用待定系数法可求出函数的解析式，将解析式配方后可得出顶点的坐标；
（3）结合图形，可得知ax²+1=2两个根的范围，从而的出结论．

解答 解：（1）过点（0，2）且平行于x轴的直线解析式为y=2，
令y=2，则有x-1=2，解得：x=3，
故A点的坐标为（3，2）．
∵点A关于直线x=1的对称点为B，
∴B点的坐标为（-1，2）．
（2）∵抛物线C₁：y=x²+bx+c经过点A，B，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2=9+3b+c}\\{2=1-b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
故求抛物线C₁的表达式为y=x²-2x-1．
∵y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴抛物线C₁的顶点坐标为（1，-2）．
（3）依照题意画出题形如下．

令y=2，则有ax²+1=2，解得：x=±$\frac{1}{\sqrt{a}}$，其中a＞0，
∵抛物线C₂：y=ax²+1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{\sqrt{a}}＜-1}\\{\frac{1}{\sqrt{a}}≤3}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{9}$≤a＜1．
故a的取值范围为$\frac{1}{9}$≤a＜1．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键：（1）解一元一次方程求出点A的坐标；（2）由待定系数法找出关于b、c的二元一次方程组；（3）结合图象找出关于a的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．