Question

【题目】等腰三角形中，是的角平分线，点在射线上，，若，线段的长度为_______．

Answer 1

【答案】8或4

【解析】

先根据题意画图．再BC上取一点F使BF=AE，连接DF，易证△DBF≌△DEA．从而得到AD=DF．然后再利用三角形外角性质定理，通过等量代换证明∠DFC=∠C，则可得DF=FC，从而将求AD转化为求FC．将已知线段长度代入，可求出AD的长度．

解：如图，在BC上取点F，使BF=AE，连接DF，

∵DB=DE，AB=AC

∴∠2=∠E，∠ABC=∠C

∵BD平分∠ABC

∴∠1=∠2

∴∠1=∠E

在△DBF与△DEA中

，

∴△DBF≌△DEA（SAS）

∴∠BDF=∠4，AD=DF

∵∠BDC=∠2+∠3，∠3=∠E+∠4

∴∠BDC=∠2+∠E+∠4

∴∠FDC=∠BDC-∠BDF=∠2+∠E+∠4-∠4=∠2+∠E=∠2+∠1=∠ABC

∴∠FDC=∠C

∴DF=CF

∵BC=6，BF=AE=2

∴CF=BC-BF=6-2=4

∴AD=DF=4；

当点E在AB上，在BC延长线上取点F，使BF=AE=2，连接DF

∵DE=DB，

∴∠DEB=∠DBE=∠DBC，

∴∠DBF=∠DEA，AE=BF，DB=DE

∴△AED≌△FBD（SAS）

∴AD=DF，∠A=∠F

∵AB=AC

∴∠ABC=∠C

∵∠A+∠C+∠ABC=180°，且∠F+∠C+∠FDC=180°

∴∠ABC=∠FDC

∴∠FDC=∠C

∴DF=FC=BF+BC=8

∴AD=8；

故答案为：4或8．