Question

【题目】（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．

（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．

（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）PQ长最短是1.2；（3）四边形ADCF面积最大值是，最小值是．

【解析】

（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求；

（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；

（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．

解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；

（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．

理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，

由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，

∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，

又∵CQ＝CQ'，

∴PQ＜P'Q'，即PQ最短．

在Rt△ABC中，，

∴，

∴PQ＝CP﹣CQ＝6.8﹣3.6＝1.2，

∴．

当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2．

（3）△ACF的面积有最大和最小值．

如图3，取AB的中点G，连接FG，DE．

∵∠EAF＝90°，，

∴

∵AB＝6，AG＝GB，

∴AC＝GB＝3，

又∵AD＝9，

∴，

∴

∵∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，

∴∠FAG＝∠EAD，

∴△FAG～△EAD，

∴，

∵DE＝3，

∴FG＝1，

∴点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，

连接AC，则△ACD的面积＝，

过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH反向延长线交⊙G于F2，

①当F在F1时，△ACF面积最小．理由：由（2）知，当F在F1时，F1H最短，这时△ACF的边AC上的高最小，所以△ACF面积有最小值，

在Rt△ABC中，

∴，

在Rt△ACH中，，

∴，

∴△ACF面积有最小值是：；

∴四边形ADCF面积最小值是：；

②当F在F2时，F2H最大理由：在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，连接PG，则四边形GHMN是矩形，

∴GH＝MN，

在Rt△GNP中，∠NGF2＝90°，

∴PG＞PN，

又∵F2G＝PG，

∴F2G+GH＞PN+MN，即F2H＞PM，

∴F2H是△ACF的边AC上的最大高，

∴面积有最大值，

∵，

∴△ACF面积有最大值是；

∴四边形ADCF面积最大值是；

综上所述，四边形ADCF面积最大值是，最小值是．