Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3,0），将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．

（1）求直线BC及抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且，求点P的坐标；

（3）连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

Answer 1

【答案】（1）y=－x+3；y=－4x+3；（2）（2,2）或（2，－2）；（3）45°

【解析】

（1）根据平移得出点C的坐标，然后设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式；

（2）根据二次函数得出点D和点A的坐标，然后得出OB、OC、OA和AB的长度，得出△OBC为等腰直角三角形，则∠OBC=45°，CB的长度为3，然后得出△AEC和△AFP相似得出PF的长度，从而得出点P的坐标；

（3）作点A（1,0）关于y轴的对称点A′，根据等腰直角三角形的性质得出角度．

解：（1）∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，∴C（0，3）．

设直线BC的解析式为y=kx+3．

∵B（3，0）在直线BC上，∴3k+3=0．

解得k=－1，直线BC的解析式为y=－x+3．

∵抛物线过点，

解得

∴抛物线的解析式为．

（2）由． 可得D（2，－1），A（1，0）．

∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．

可得△OBC是等腰直角三角形．∴∠OBC=45°，CB=3．

如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，∴AF=AB=1．

过点A作AE于点E．∴∠AEB=90°．可得BE=AE=，CE=2．

在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，

．，．解得PF=2．

∵点P在抛物线的对称轴上，

∴点P的坐标为（2,2）或（2，－2）．

（3）作点A（1,0）关于y轴的对称点A′，则A′（-1，0）

连结A′C，A′D，可得A′C=AC=，∠OC A′=∠OCA

由勾股定理可得CD2=20， A′D2=10，

又 A′C2=10 ∴ A′D2+ A′C2=CD2

∴△ A′DC是等腰直角三角形，∠C A′D=90，

∴∠DC A′=45，∴∠OC A′+∠OCD=45，

∴∠OCA+∠OCD=45，

即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45．