Question

19．如图，在平行四边形ABCD中，以AC为边长在其两侧各作一正三角形ACP和ACQ．求证：四边形BPDQ是平行四边形．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAC=∠BCA，根据等边三角形的性质得出AP=AC=CQ，∠PAC=∠QCA=60°，CP=AC=AQ，∠PCA=∠QAC=60°，求出∠PAD=∠QCB，∠PCB=∠QAD，证△PAD≌△QCB和△PCB≌△QAD，推出PB=DQ和PD=BQ，根据平行四边形的判定推出即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵以AC为边长在其两侧各作一正三角形ACP和ACQ，
∴AP=AC=CQ，∠PAC=∠QCA=60°，
∴∠PAC-∠DAC=∠QCA-∠BCA，
∴∠PAD=∠QCB，
在△PAD和△QCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=QC}\\{∠PAD=∠QCB}\\{AD=CB}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△QCB（SAS），
∴PD=QB，
∵以AC为边长在其两侧各作一正三角形ACP和ACQ，
∴CP=AC=AQ，∠PCA=∠QAC=60°，
∵∠DAC=∠BCA，
∴∠PCA+∠BCA=∠QAC+∠DAC，
∴∠PCB=∠QAD，
在△PCB和△QAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=QA}\\{∠PCB=∠QAD}\\{CB=AD}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△QAD（SAS），
∴PB=DQ，
∵PD=BQ，
∴四边形BPDQ是平行四边形．

点评 本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能求出PB=DQ和PD=BQ是解此题的关键．