Question

【题目】如图，中，在内自由移动，若的半径为且圆心O在内所能到达的区域的面积为则的周长为_______________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出EF，再证明△HAC≌△HAM（AAS），推出AM=AC=3m，CH=HM，BM=2m，设CH=HM=x，在Rt△BHM中，则有x2+（3m）2=（4m-x）2，推出x=，由EK∥CH，推出，推出，可得AK=，求出AC即可解决问题．

解：如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．

∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，
∴∠EGF=∠ABC，∠FEG=∠CAB，
∴△EFG∽△ACB，
∴EF：FG：EG=AC：BC：AB=3：4：5，
设EF=3k，FG=4k，

∵，
∴k=2或（舍弃），
∴EF=6，
∵四边形EKJF是矩形，
∴KJ=EF=6，
设AC=3m，BC=4m，AB=5m，
∵∠ACH=∠AMH=90°，∠HAC=∠HAM，AH=AH，
∴△HAC≌△HAM（AAS），
∴AM=AC=3m，CH=HM，BM=2m，设CH=HM=x，
在Rt△BHM中，则有x2+（2m）2=（4m-x）2，
∴x=，
∵EK∥CH，
∴，
∴，
∴AK=2，
∴AC=AK+KJ+CJ=2+6+1=9，
∴BC=12，AB=15，
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=9+12+15=36，
故答案为：36．