Question

6．如图，以△ABC的边AB、AC、BC为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE，正方形ACGF、正方形BCMN
（1）以EF、DN、GM为边能否构成三角形？为什么？
（2）若能，试探究以EF、DN、GM为边构成的三角形的面积与△ABC的面积的关系．

Answer 1

分析 （1）可以利用正方形的对边平行而且相等，作出一个以EF、GM、ND为边的三角形，把△AEF沿AB平移，△MCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F、G重合于I，△DBI≌△AEF，△BIN≌△MCG，且可得∠EAF+∠GCM+∠DBN=360°，因此可拼成一个三角形；
（2）然后再证明S_△DIN=3S_△ABC，把△GCM绕C点旋转90°，得到△BCG′，可得A，C，G′在一条直线上，且C为AG′的中点．进而由DN、EF、GM为三边构成的△DIK的面积S_△DIN=3S_△ABC．

解答 证明：（1）以EF、DN、GM为边能构成三角形，
理由：把△AEF沿AB平移，△MCG沿CB方向平移，
使A、C重合于B，F、G重合于I，连接DI，BI，NI，
∴△DBI≌△AEF，△BIN≌△MCG，
∴∠EAF+∠GCM+∠DBN=360°，DI=EF，IN=GM，
∵DI，IN，DN为边能拼成一个△DIK，
∴以EF、DN、GM为边能拼成一个△DIK；

（2）把△GCM绕C点旋转90°，得到△BCG′，
∵∠ACG=90°，
∴∠ACG+∠GCG′=180°，
∴A，C，G′在一条直线上，CG′=CG=AC，
∴C为AG′的中点，
∴S_△BCG′=S_△ABC，
∴S_△BIN=S_△ABC，同理S_△DBN=S_△DBI=S_△ABC，
∴DN、EF、GM为三边构成的△DIN的面积S_△DIN=3S_△ABC．

点评 本题主要考查对三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．