Question

11．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图3所示，设过点A的直线与抛物线在第一象限的交点为N，当△ACN的面积为$\frac{15}{8}$时，求直线AN的解析式．

Answer 1

分析 （1）将点的坐标代入抛物线关系式，即可得出结论；
（2）由三角形中两边之和大于第三边可知当△PAC的周长最小时，点P为BC与l的交点；
（3）△MAC为等腰三角形有三种情况，利用两点的距离公式，即可得出结论；
（4）巧妙将△ACN分成两部分，△ACK底为CK，高为1；△NCK底为CK，高为N点横坐标，合在一起底为CK，高为直线AN与抛物线交点的横坐标之差，设出直线解析式，表示出N的横坐标，结合面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=9a+3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
即抛物线的函数关系式为y=-x²+2x+3．
（2）连接PB，如图1．

由抛物线的对称性可知PA=PB，
当B、P、C共线时，PB+PC=BC最短（三角形两边之和大于第三边）．
∵抛物线的函数关系式为y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线对称轴l为x=1．
∵B点坐标（3，0）、C点坐标（0，3），
∴直线BC的关系式为y=-x+3．
∵点P为直线l与直线BC的交点，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$．
故当△PAC的周长最小时，点P的坐标为（1，2）．
（3）假设存在，设M点的坐标为（1，m），若△MAC为等腰三角形，则有三种情况：
①当CA=CM时，如图2．

∵A点坐标（-1，0）、C点坐标（0，3），
∴CA=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CM=$\sqrt{{1}^{2}+（m-3）^{2}}$，
∴$\sqrt{{1}^{2}+（m-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得：m=0．
即M点的坐标为（1，0）；
②当MC=MA时，如图3．

∵MA=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$，MC=$\sqrt{{1}^{2}+（m-3）^{2}}$，
∴$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（m-3）^{2}}$，
解得：m=1．
即M点的坐标为（1，1）；
③当AC=AM时，如图4．

∵AC=$\sqrt{10}$，AM=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$，
∴$\sqrt{10}$=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$，
解得：m=±$\sqrt{6}$．
即M点的坐标为（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）．
综上可知：使△MAC为等腰三角形的点M的坐标为（1，0）、（1，1）、（1，$\sqrt{6}$）和（1，-$\sqrt{6}$）．
（4）设直线AN的解析式为y=kx+b，则K（0，b）．
∵直线AN过点A（-1，0），
∴0=-k+b，即k=b．
直线AN的解析式为y=kx+k．
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，解得x₁=-1，或x₂=3-k．
△ACN的面积=$\frac{1}{2}$CK•（x₂-x₁）=$\frac{1}{2}$（3-k）（4-k）=$\frac{15}{8}$，
解得：k=$\frac{11}{2}$，或k=$\frac{3}{2}$．
∵N点在第一象限呢，
∴x₂=3-k＞0，即k＜3．
∴k=$\frac{11}{2}$不符合，舍去．
故直线AN的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合应用的求动点坐标，解题的关键：熟练的运用两点间的距离公式；知道三角形中两边之和大于第三边；以及能找出直线与抛物线交点的问题．本题属于中等难度题，前两问问题不大，（3）的运算量稍微大点，需要用心去做，（4）巧求面积很关键，在直角坐标系中碰到三角形时，经常会以过一个顶点与坐标轴平行的三角形内的线段为底，另两点的横（或纵）坐标之差为高求面积，如想在该类问题中能快速求解需要多练习此类型问题．