Question

2．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与x轴交于另一点C，与y轴交于点B（0，3），对称轴是直线x=-1，顶点是M．
（1）直接写出二次函数的解析式：y=-x²-2x+3；
（2）点P是抛物线上的动点，点D是对称轴上的动点，当以P、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点D的坐标：（-1，0）或（-1，-2）或（-1，-8）；
（3）过原点的直线l平分△MBC的面积，求l的解析式．

Answer 1

分析 （1）因为二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为x=-1，所以点C坐标（-3，0），设二次函数解析式为y=a（x-1）（x+3），把点B代入即可求出a．
（2）根据图中三种情形图1中，①当D₁（-1，0），P₁（-2，0）时，有P₁B=CD₁，P₁B∥CD₁，所以四边形CD₁BP₁为平行四边形．
②当BC∥D₂P₂，BC=P₂D₂时，四边形BCP₂D₂是平行四边形，设P（-1，m）则P₂（-4，m-3），把P₂的坐标代入抛物线得到即可求出m③当D₃P₃∥BC，D₃P₃=BC时，四边形BCD₃P₃是平行四边形，设D₃（-1，n），则P₃（2，n+3），把点P₃坐标代入抛物线即可求出n．
（3）设直线l的解析式为y=kx，利用方程组求出点P、Q的坐标，列出方程解决．

解答 解：（1）因为二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为x=-1，所以点C坐标（-3，0），
设二次函数解析式为y=a（x-1）（x+3），把点B（0，3）代入得到a=-1，
∴二次函数的解析式为：y=-（x-1）（x+3）=-x²-2x+3．
故答案为y=-x²-2x+3．
（2）图1中，①当D₁（-1，0），P₁（-2，0）时，
∵P₁B=CD₁，P₁B∥CD₁，
∴四边形CD₁BP₁为平行四边形．
②当BC∥D₂P₂，BC=P₂D₂时，四边形BCP₂D₂是平行四边形，
∵BO=CO=3，
∴BC=P₂D₂=3$\sqrt{2}$，
设P（-1，m）则P₂（-4，m-3），把P₂的坐标代入抛物线得到m-3=-16+8+3，所以m=-2，
∴D₂（-1，-2）．
③当D₃P₃∥BC，D₃P₃=BC时，四边形BCD₃P₃是平行四边形，设D₃（-1，n），则P₃（2，n+3），
把点P₃坐标代入抛物线得到n+3=-4-4+3，所以n=-8，
∴点D₃（-1，-8）．
综上所述点D坐标为（-1，0）或（-1，-2）或（-1，-8）．
故答案为（-1，0）或（-1，-2）或（-1，-8）．
（3）如图2，∵M（-1，4），C（3，0），B（0，3），
∴S_△MBC=S_△MCO+S_△MB0-S_△COB=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}×3×1$-$\frac{1}{2}$×3×3=3，
设直线l的解析式为y=kx，
∵直线BC解析式为y=x+3，直线CM解析式为y=2x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{k-1}}\\{y=\frac{3k}{k-1}}\end{array}\right.$所以点P（$\frac{3}{k-1}$，$\frac{3k}{k-1}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=2x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{k-2}}\\{y=\frac{6k}{k-2}}\end{array}\right.$所以点Q（$\frac{6}{k-2}$，$\frac{6k}{k-2}$），
∵S_△CPQ=$\frac{3}{2}$，
∴S_△COQ-S_△COP=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$3×\frac{6k}{k-2}$-$\frac{1}{2}$×$3×\frac{3k}{k-1}$=$\frac{3}{2}$，
∴k=-2（或$\frac{1}{2}$不合题意舍弃），
∴直线l为y=-2x．

点评 本题考查二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的判定和性质，解决问题的关键是假设一个点的坐标，然后用同一个未知数表示相关的点的坐标，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．