Question

20．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x²+bx+c过点A，B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在点M，做MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形△AOB相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点A、点B的坐标，然后将点A、B的坐标代入代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后解得b、c的值即可；
（2）设点M的坐标为（a，-a²+a+2），由相似三角形的判定定理可知当$\frac{AO}{OB}=\frac{ON}{MN}$或$\frac{AO}{OB}=\frac{MN}{ON}$时以M、O、N为顶点的三角形△AOB相似，然后将AO=1，OB=2，ON=a，MN=-a²+a+2代入求解即可．

解答 解：（1）∵将x=0代入y=2x+2得；y=2，
∴B（0，2）．
∵将y=0代入y=2x+2得：2x+2=0，解得x=-1，
∴A（-1，0）．
∵将（0，2）、（-1，0）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-1-b+c=0}\end{array}\right.$，解得：c=2，b=1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+2．
（2）设点M的坐标为（a，-a²+a+2）．
如图1所示：

∵∠BOA=∠MNO=90°，
∴当$\frac{AO}{OB}=\frac{ON}{MN}$时，△AOB∽△ONM．
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{-{a}^{2}+a+2}$，整理得：a²+a-2=0，解得：a₁=1，a₂=-2（舍去）．
∴点M的坐标为（1，2）．
如图2所示：

∵∠BOA=∠MNO=90°，
∴当$\frac{AO}{OB}=\frac{MN}{ON}$时，△AOB∽△NMO．
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{-{a}^{2}+a+2}{a}$，整理得：2a²-a-4=0，解得：a₁=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，a₂=$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$（舍去）．
∴点M的坐标为（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）．
综上所述点M的坐标为（1，2）或（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题涉及的知识点包括一次函数图象上点的坐标特点、待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定、解一元二次方程，根据当$\frac{AO}{OB}=\frac{ON}{MN}$或$\frac{AO}{OB}=\frac{MN}{ON}$时以M、O、N为顶点的三角形△AOB相似列出关于a的方程是解题的关键．