如图，平面直角坐标系xOy中点A的坐标为（-1，1），点B的坐标为（3，3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．分析 （1）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后计算自变量为0时的函数值即可得到E点坐标；
（2）利用待定系数求抛物线的解析式；
（3）如图1，作NG∥y轴交OB于G，如图，利用一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，设N（m，$\frac{1}{2}$m2-$\frac{1}{2}$m）（0＜m＜3），则G（m，m），再根据三角形面积公式计算出S△AOB，和S△BON，然后得到S四边形ABNO和m的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解；
（4）设直线NE的解析式为y=px+q，直线EN交x轴于H，直线PA交OB于Q，如图2，先利用待定系数法求出直线NE的解析式，则可确定H点坐标，再证明Rt△AOQ∽Rt△EOH，利用相似比计算出OQ，则利用点Q在直线y=x上可确定Q点坐标，接着利用待定系数法求出直线AQ的解析式，然后解由二次函数与直线AQ的解析式所组成的方程组即可得到P点坐标．
解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（-1，1），B（3，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=1}\\{3m+n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
所以E点坐标为（0，$\frac{3}{2}$）；
（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=1}\\{9a+3b+c=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{1}{2}$x；
（3）如图1，作NG∥y轴交OB于G，如图，直线OB的解析式为y=x，
设N（m，$\frac{1}{2}$m2-$\frac{1}{2}$m）（0＜m＜3），则G（m，m），GN=m-（$\frac{1}{2}$m2-$\frac{1}{2}$m）=-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m，
S△AOB=S△AOE+S△BOE=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3=3，S△BON=S△ONG+S△BNG=$\frac{1}{2}$•3•（-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m）=-$\frac{3}{2}$m2+$\frac{9}{4}$，
所以S四边形ABNO=S△BON+S△AOB=-$\frac{3}{2}$m2+$\frac{9}{4}$+3=-$\frac{3}{4}$（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{75}{16}$
当m=$\frac{3}{2}$时，四边形ABNO面积的最大值，最大值为$\frac{75}{16}$，此时N点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{8}$）；
（4）设直线NE的解析式为y=px+q，直线EN交x轴于H，直线PA交OB于Q，如图2，
把E（0，$\frac{3}{2}$），N（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{8}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{q=\frac{3}{2}}\\{\frac{3}{2}p+q=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-\frac{3}{4}}\\{q=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
所以直线NE的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$=0，解得x=2，则H（2，0），
∵A（-1，1），B（3，3），
∴∠AOE=45°，∠BOE=45°，
∴∠AOB=90°，
∵∠PAO=∠NEO，
∴Rt△AOQ∽Rt△EOH，
∴OA：OE=OQ：OH，即$\sqrt{2}$：$\frac{3}{2}$=OQ：2，解得OQ=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴Q（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴直线AQ的解析式为y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{8}{7}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{7}x+\frac{8}{7}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{7}}\\{y=\frac{72}{49}}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（$\frac{16}{7}$，$\frac{72}{49}$）．
点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数的性质；理解坐标与图形性质，利用面积的和差计算不规则图形的面积．
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