Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-$\frac{3}{2}$且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据相似三角形的性质，可得关于m的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得M点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=2，即C（0，2），
当y=0时，$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=-4，即A（-4，1）．
由A、B关于对称轴对称，得
B（1，0）．
将A、B、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
（2）抛物线上是存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，
如图，
设M（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），N（m，0）．
AN=m+4，MN=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2．
由勾股定理，得AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
当△ANM∽△ACB时，$\frac{AN}{AC}$=$\frac{NM}{BC}$，即$\frac{m+4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m+2}{\sqrt{5}}$，
解得m=0（不符合题意，舍），m=-4（不符合题意，舍）；
当△ANM∽△BCA时，$\frac{AN}{BC}$=$\frac{NM}{AC}$，即$\frac{m+4}{\sqrt{5}}$=$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m+2}{2\sqrt{5}}$，
解得m=-3，m=-4（不符合题意，舍），
当m=-3时，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2=2，
即M（-3，2）．
综上所述：抛物线存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，点M的坐标（-3，2）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键；利用相似三角形的性质得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．