Question

20．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：y=-x-1，双曲线y=$\frac{1}{x}$．在直线l上取点A₁，过点A₁作x轴的垂线交双曲线于点B₁，过点B₁作y轴的垂线交直线l于点A₂，继续操作：过点A₂作x轴的垂线交双曲线于点B₂，过点B₂作y轴的垂线交直线l于点A₃，…，依次这样得到双曲线上的点B₁，B₂，B₃，B₄，…，B_n．记点A₁的横坐标为2，则B₂₀₁₆的坐标为（-$\frac{1}{3}$，-3）．

Answer 1

分析 求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，可发现规律，继而得出a₂₀₁₆的值，根据题意可得A₁不能在x轴上，也不能在y轴上，从而可得出a₁不可能取的值．

解答 解：当a₁=2时，B₁的纵坐标为$\frac{1}{2}$，
B₁的纵坐标和A₂的纵坐标相同，则A₂的横坐标为a₂=-$\frac{3}{2}$，
A₂的横坐标和B₂的横坐标相同，则B₂的纵坐标为b₂=-$\frac{2}{3}$，
B₂的纵坐标和A₃的纵坐标相同，则A₃的横坐标为a₃=-$\frac{1}{3}$，
A₃的横坐标和B₃的横坐标相同，则B₃的纵坐标为b₃=-3，
B₃的纵坐标和A₄的纵坐标相同，则A₄的横坐标为a₄=2，
A₄的横坐标和B₄的横坐标相同，则B₄的纵坐标为b₄=$\frac{1}{2}$，
即当a₁=2时，a₂=-$\frac{3}{2}$，a₃=-$\frac{1}{3}$，a₄=2，a₅=-$\frac{3}{2}$，
b₁=$\frac{1}{2}$，b₂=-$\frac{2}{3}$，b₃=-3，b₄=$\frac{1}{2}$，b₅=-$\frac{2}{3}$，
∵$\frac{2016}{3}$=671，
∴a₂₀₁₆=a₃=-$\frac{1}{3}$．
故答案为：（-$\frac{1}{3}$，-3）．

点评 本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．