【题目】如图,已知△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,AC的延长线上有点D,AC=3CD,连接BD,E为BD的中点,CE是⊙O的切线.
(1)求证:BD与⊙O相切;
(2)求∠ACE的度数.
【答案】(1)详见解析;(2)120°
【解析】
(1)连接OC,如图,利用圆周角定理得∠ACB=90°,再根据斜边上的中线性质得CE=BE=DE,所以∠1=∠2,接着根据切线的性质得∠1+∠3=90°,于是∠2+∠4=90°,然后根据切线的判定定理得到结论;
(2)设CD=x,则AC=3x,先证明△ABC∽△ADB,利用相似比得到AB=2x,然后在Rt△ACB中利用余弦定义求出∠A=30°,则∠OCA=∠A=30°,从而得到∠ACE的度数.
(1)连接OC,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵E为BD的中点,
∴CE=BE=DE,
∴∠1=∠2,
∵OB=OC,
∴∠3=∠4,
∵CE是⊙O的切线.
∴OC⊥CE,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠2+∠4=90°,即∠OBE=90°,
∴BD⊥AB,
∴BD与⊙O相切;
(2)解:设CD=x,则AC=3x,
∵∠CAB=∠BAD,∠ACB=∠ABD=90°,
∴△ABC∽△ADB,
∴,即,
∴AB=2x,
在Rt△ACB中,∵cosA==,
∴∠A=30°,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠A=30°,
∴∠ACE=30°+90°=120°.
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【题目】如图(1),在和中,为边上一点,平分,,.
(1)求证:
(2)如图(2),若,连接交于,为边上一点,满足,连接交于. ①求的度数;
②若平分,试说明:平分.
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【题目】如图,在中,点是边上的一个动点,过点作直线,设交的平
分线于点,交的外角平分线于点.
求证:;
当点运动到何处时,四边形是矩形?为什么?
进行怎样的变化才能使边上存在点,使四边形是正方形?为什么?
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【题目】动漫节开幕前,某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销,就分两批分别用32000元和68000元购进了这种玩具销售,其中第二批购进数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.
(1)该动漫公司这两批各购进多少套玩具?
(2)如果这两批玩具每套售价相同,且全部销售后总利润不少于20000元,那么每套售价至少是多少元?
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【题目】如图所示,点O是等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α, 以OC为边作等边三角形OCD,连接AD.
(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(2)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
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【题目】某种型号油电混合动力汽车,从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元,从A地到B地用电行驶纯电费用26元,已知每行驶1千米,纯燃油费用比纯用电费用多0.5元.
(1)求每行驶1千米纯用电的费用;
(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元,则至少用电行驶多少千米?
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【题目】如图,在平行四边形中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE,若AE=AB,则∠EBC的度数为( )
A.30°B.50°C.80°D.100°
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【题目】在中,,,将绕点顺时针旋转角得,交于点,分别交、于、两点.
如图,观察并猜想:图中在不连接其它线段的情况下,共有多少对全等三角形(不包含)?将它们全部写出来,并且选一组全等三角形进行证明;
如图,当时,求的长.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,△ADF旋转一定角度后得到△ABE,且点E在线段AD上,若AF=4,∠F=60°.
(1)指出旋转中心和旋转角度;
(2)求DE的长度和∠EBD的度数.
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