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【题目】如图,已知ABC内接于O,AB为O的直径,AC的延长线上有点D,AC=3CD,连接BD,E为BD的中点,CE是O的切线.

(1)求证:BD与O相切;

(2)求ACE的度数.

【答案】(1)详见解析;(2)120°

【解析】

(1)连接OC,如图,利用圆周角定理得∠ACB=90°,再根据斜边上的中线性质得CE=BE=DE,所以∠1=2,接着根据切线的性质得∠1+3=90°,于是∠2+4=90°,然后根据切线的判定定理得到结论;

(2)设CD=x,则AC=3x,先证明ABC∽△ADB,利用相似比得到AB=2x,然后在RtACB中利用余弦定义求出∠A=30°,则∠OCA=A=30°,从而得到∠ACE的度数.

(1)连接OC,如图,

AB为⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

EBD的中点,

CE=BE=DE,

∴∠1=2,

OB=OC,

∴∠3=4,

CE是⊙O的切线.

OCCE,

∴∠1+3=90°,

∴∠2+4=90°,即∠OBE=90°,

BDAB,

BD与⊙O相切;

(2)解:设CD=x,则AC=3x,

∵∠CAB=BAD,ACB=ABD=90°,

∴△ABC∽△ADB,

,即

AB=2x,

RtACB中,∵cosA==

∴∠A=30°,

OA=OC,

∴∠OCA=A=30°,

∴∠ACE=30°+90°=120°.

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