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【题目】如图,在中,点边上的一个动点,过点作直线,设的平

分线于点,交的外角平分线于点

求证:

当点运动到何处时,四边形是矩形?为什么?

进行怎样的变化才能使边上存在点,使四边形是正方形?为什么?

【答案】(1)见解析;(2)当点运动到的中点时,四边形是矩形,理由见解析

【解析】

(1)由已知MN∥BC得到两对内错角相等,再由CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO,根据等量代换可推出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,分别根据“等角对等边”得证;

(2)由(1)得出的EO=CO=FO,点O运动到AC的中点时,则由EO=CO=FO=AO,根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证;

(3)由已知和(2)得到的结论,点O运动到AC的中点时,且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直,所以四边形AECF是正方形.

证明:∵

又已知平分平分

解:当点运动到的中点时,四边形是矩形.

∵当点运动到的中点时,,又

∴四边形为平行四边形,

的平分线,的平分线,

,即

∴四边形是矩形;解:当点运动到的中点时,且满足为直角的直角三角形时,四边形是正方形.

∵由知,当点运动到的中点时,四边形是矩形,

已知,当,则

∴四边形是正方形.

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