【题目】如图,在中,点是边上的一个动点,过点作直线,设交的平
分线于点,交的外角平分线于点.
求证:;
当点运动到何处时,四边形是矩形?为什么?
进行怎样的变化才能使边上存在点,使四边形是正方形?为什么?
【答案】(1)见解析;(2)当点运动到的中点时,四边形是矩形,理由见解析
【解析】
(1)由已知MN∥BC得到两对内错角相等,再由CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO,根据等量代换可推出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,分别根据“等角对等边”得证;
(2)由(1)得出的EO=CO=FO,点O运动到AC的中点时,则由EO=CO=FO=AO,根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证;
(3)由已知和(2)得到的结论,点O运动到AC的中点时,且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直,所以四边形AECF是正方形.
证明:∵,
∴,,
又已知平分,平分,
∴,,
∴,,
∴,,
∴;
解:当点运动到的中点时,四边形是矩形.
∵当点运动到的中点时,,又,
∴四边形为平行四边形,
又为的平分线,为的平分线,
∴,,
∴,即,
∴四边形是矩形;解:当点运动到的中点时,且满足为直角的直角三角形时,四边形是正方形.
∵由知,当点运动到的中点时,四边形是矩形,
已知,当,则
,
∴,
∴四边形是正方形.
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【题目】如图,已知∠ABC=∠DCB,添加一个条件使△ABC≌△DCB,下列添加的条件不能使△ABC≌△DCB的是( )
A. ∠A=∠D B. AB=DC C. AC=DB D. OB=OC
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【题目】年是我国实现第一个百年目标,全国建成小康社会的收官之年,早在十六大我党就提出加快推进社会主义现代化,力争国民生产总值到年比年翻两番,要实现这一目标,以十年为单位计算,求每十年的国民生产总值的增长率是多少?
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【题目】阅读下列短文,回答有关问题:
在实数这章中,遇到过、;这样的式子,我们把这样的式子叫做二次根式,根号下的数叫做被开方数.如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开的尽方,可以利用将这些因数开出来,从而将二次根式化简.当一个二次根式的被开方数中不含开得尽方的因数或者被开方数中不含有分数时,这样的二次根式叫做最简二次根式,例如,化成最简二次根式是,化成最简二次根式是.几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式,如上面的例子就是同类二次根式.
请判断下列各式中,哪些是同类二次根式?;
二次根式中的同类二次根式可以像整式中的同类项一样合并,请计算:.
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【题目】四边形为正方形,点为线段上一点,连接,过点作,交射线于点,以、为邻边作矩形,连接.
如图,求证:矩形是正方形;
若,,求的长度;
当线段与正方形的某条边的夹角是时,直接写出的度数.
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【题目】如图,已知△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,AC的延长线上有点D,AC=3CD,连接BD,E为BD的中点,CE是⊙O的切线.
(1)求证:BD与⊙O相切;
(2)求∠ACE的度数.
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【题目】(1)问题发现,
如图1,在中,,是上一点,将点绕点顺时针旋转50°得到点,则与的数量关系是________________________。
(2)类比探究
如图2,将(1)中的绕点在平面内旋转,(1)中的结论是否成立,并就图2的情形说明理由。
(3)拓展延伸
绕点在平面旋转,当旋转到时,请直接写出度数。
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