Question

【题目】（材料阅读）

我们曾解决过课本中的这样一道题目：

如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．……

提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△FAD；

提炼2：△ECD≌△FAD；

提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式．

（问题解决）

（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF．

可得：∠EDF＝　 　°；AF，FE，EC三者间的数量关系是　 　．

（2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度．

（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）45°，AF+EC＝FE；（2）AC＝4；（3）AD2+BE2＝DE2，证明详见解析

【解析】

（1）由折叠的性质可得△CDE≌△GDE，可得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90，证明Rt△DAF≌Rt△DGF，可得∠ADF＝∠GDF，AF＝FG．则结论得出；

（2）延长CD到E，使DE＝BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC，可得AE＝AC，∠EAD＝∠CAB．则答案可求出；

（3）将△ACD绕点C逆时针旋转90得到△BCH，连接EH．证明△CEH≌△CED．可得EH＝ED．可求得∠EBH＝90．可得出HB2＋BE2＝EH2．则结论得出．

（1）由折叠的性质可得△CDE≌△GDE，

∴CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90，

在Rt△DAF和Rt△DGF中，

，

∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），

∴∠ADF＝∠GDF，AF＝FG．

∴∠EDF＝∠EDG+∠FDG＝＝45，

EF＝FG+EG＝AF+EC；

故答案为：45，AF+EC＝FE．

（2）如图，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE．

∵AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90，

∴△ADE≌△ABC（SAS），

∴AE＝AC，∠EAD＝∠CAB．

∴∠EAC＝90．

∵四边形ABCD的面积为8，可得△ACE的面积为8．

∴．

解得，AC＝4(-4舍去)．

（3）AD2+BE2＝DE2．证明如下：

如图2：将△ACD绕点C逆时针旋转90得到△BCH，连接EH．

∴DC＝HC，∠DCE＝∠ECH＝45，∠CAD＝∠CBH＝45，

∵CE＝CE，

∴△CEH≌△CED（SAS）．

∴EH＝ED．

∴∠ABC+∠CBH＝∠EBH＝90．

∴HB2+BE2＝EH2．

∵AD＝BH，

∴AD2+BE2＝DE2．