【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求菱形BMDN的周长和对角线MN的长.
【答案】(1)见解析;(2)周长20,
【解析】
(1)根据矩形性质求出AD∥BC,推出∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,证△DMO≌△BNO,推出OM=ON,得出平行四边形BMDN,推出菱形BMDN;
(2)根据菱形性质求出DM=BM,在Rt△AMB中,根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2,求出MD=5,由勾股定理求出BD的长,得出OB的长,再由勾股定理求出OM,即可得出MN的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠A=90°,OB=OD,
∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO.
∵MN是BD的垂直平分线
∴OD=OB,
在△DMO和△BNO中,
,
∴△DMO≌△BNO(AAS),
∴OM=ON.
∵OB=OD,
∴四边形BMDN是平行四边形.
∵MN⊥BD,
∴四边形BMDN是菱形.
(2)解:设MD=MB=x,则AM=8﹣x.
在Rt△AMB中,由勾股定理得:x2=(8﹣x)2+42,
解得:x=5.即MB=5,
∴菱形BMDN的周长为5×4=20.
在Rt△ABD中,由勾股定理得:BD==
=4
,
∴.
在Rt△BOM中,由勾股定理得:OM==
=
,
由(1)得:OM=ON,
∴.
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【题目】某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组,要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组,为了了解学生对四个课外小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据给出的信息解答下列问题:
(1)求该校参加这次问卷调查的学生人数,并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据);
(2)m= ,n= ;
(3)若该校共有2000名学生,试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人?
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【题目】构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性,在计算tan15°时,如图.在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan15°.类比这种方法,计算tan22.5°的值为( )
A.B.
﹣1C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线
与
轴交于点
(点
在点
的左侧),与
轴交于点
.垂直于
轴的直线
与抛物线交于点
,
,与直线
交于点
,若
,记
,则
的取值范围为( )
A.5<s<6B.6<s<7C.7<s<8D.8<s<9
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.
①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积;
②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的边BC在x轴上,顶点A在y轴的正半轴上,OA=2,OB=1,OC=4.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)设点M是x轴上的动点,试问:在平面直角坐标系中,是否存在点N,使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若抛物线对称轴交x轴于点P,在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形?若存在,写出所有符合条件的点Q的坐标,选择一种情况加以说明;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AB上一点,将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC上,记为A1,折痕为DE.再将∠B沿EA1向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B1.若AD=1,则AB的长为_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,∠CAB=60°,点O(0,0),点A(1,0),点B(﹣1,0),点C在第二象限,点P(﹣2,).
(I)如图①,求C点坐标及∠PCB的大小;
(II)将△ABC绕C点逆时针旋转得到△MNC,点A,B的对应点分别为点M,N,S为△PMN的面积.
①如图②,当点N落在边CA上时,求S的值;
②求S的取值范围(直接写出结果即可).
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【题目】某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位:),随机调查了该校的部.分学生,根据调查结果绘制出如下统计图:
(1)求调查的学生是多少人? .
(2)求调查的学生每天在校体育活动时间的平均数、众数;
(3)若该校有名初中学生,估计该校每天在校体育活动时间大于
的学生人数.
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