Question

【题目】在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠CAB=60°，点O（0，0），点A（1，0），点B（﹣1，0），点C在第二象限，点P（﹣2，）．

（I）如图①，求C点坐标及∠PCB的大小；

（II）将△ABC绕C点逆时针旋转得到△MNC，点A，B的对应点分别为点M，N，S为△PMN的面积．

①如图②，当点N落在边CA上时，求S的值；

②求S的取值范围（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）C（﹣1，2），∠PCB=30°；（Ⅱ）①21；②S的取值范围为22．

【解析】

（Ⅰ）根据点A（1，0），点B（﹣1，0）得到AB=2，利用锐角三角函数求出BC=ABtan60°=22，得到C（﹣1，2）．过点P作PE⊥CB，垂足为点E，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，证明四边形PFBE为矩形，利用P（﹣2，）求出PE=FB=1，CE=CB﹣BE=2，由tan∠PCE得到∠PCB=30°；

（Ⅱ）①如图2，过点P作PH⊥直线MN，垂足为点H，过点P作PG⊥AC，垂足为点G，则四边形PHNG为矩形得到PH=GN，由旋转的性质得到CN=CB=2，MN=AB=2，由（Ⅰ）可知∠PCB=30°，PE=1，求出PC=2，∠PCG=∠PCB+∠BCA=60°，得到PH=GN=CN﹣CG=CB﹣CG=21，由三角形的面积公式求出SMNPH2×PH=PH=21；

②分两种情况：如图3，当点N在PC的延长线上时，S△PMN最大，如图4，当点N在CP的延长线上时，S△PMN最小，由此得到答案.

（Ⅰ）∵点A（1，0），点B（﹣1，0），

∴OA=1，OB=1，

∴AB=2，

在Rt△ABC中，∠CAB=60°．

∵tan∠CAB，

∴BC=ABtan60°=22，

∴C（﹣1，2）．

如图1，过点P作PE⊥CB，垂足为点E，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，

∴∠PFB=∠PEB=90°．

∵∠ABC=∠FBC=90°，

∴四边形PFBE为矩形．

∵P（﹣2，），

∴OF=2，PF，

∴FB=OF﹣OB=1，

∴BE=PF，PE=FB=1，

∴CE=CB﹣BE=2．

在Rt△CPE中，

∵tan∠PCE，

∴∠PCB=30°．

（Ⅱ）①如图2，过点P作PH⊥直线MN，垂足为点H，过点P作PG⊥AC，垂足为点G，则四边形PHNG为矩形，

∴PH=GN．

∵△MNC是由△ABC旋转得到的，

∴CN=CB=2，MN=AB=2．

∵∠ABC=90°，∠CAB=60°，

∴∠BCA=30°，

由（Ⅰ）可知∠PCB=30°，PE=1，

∴PC=2，∠PCG=∠PCB+∠BCA=60°．

在Rt△PCG中，∠CPG=30°，

∴CGPC=1，

∴PH=GN=CN﹣CG=CB﹣CG=21，

∴SMNPH2×PH=PH=21．

②S的取值范围为22．

如图3，当点N在PC的延长线上时，S△PMN最大．

此时PN=PC+CN=2+2，

∴S22．

如图4，当点N在CP的延长线上时，S△PMN最小．

此时PN=CN﹣CP=22，

∴S222，

∴22．

即S的取值范围为22.