Question

7．如图．矩形OAPB的顶点P在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，点E、F分别是矩形的边PA，PB上的动点，直线EF分别交y轴、x轴于C，D两点．现给出如下命题：①若点E、F恰同在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（k＞m＞0）的图象上，则S_{四边形OEPF}=k-m；②△ACE≌△BFD；③若OC=OD=$\sqrt{2k}$，则△OCF∽△EOF；④CE+DF=EF．其中结论正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 作EH⊥OB于H，FG⊥OA于G，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征可设P（a，$\frac{k}{a}$），则E的纵坐标为$\frac{k}{a}$，F点的横坐标为a，得出E（a，$\frac{m}{a}$），F（$\frac{am}{k}$，$\frac{k}{a}$），根据S_{四边形OEPF}=S_矩形-S_△AOE-S_△BOF=k-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$m=k-m；故①正确；证明△ACE∽△GCF得到 $\frac{CE}{CF}$=$\frac{AE}{GF}$=$\frac{m}{k}$，根据比例的性质得$\frac{CE}{EF}$=$\frac{m}{k-m}$，再证明△DBF∽△DHE得到$\frac{DF}{DE}$=$\frac{BF}{EH}$=$\frac{m}{k}$，根据比例的性质得$\frac{DF}{EF}$=$\frac{m}{k-m}$，即可得到CE=DF，然后根据ASA即可证得△ACE≌△BFD；故②正确；根据OC=OD=$\sqrt{2k}$，得出∠OCD=∠ODC=45°，AC=AE，BF=BD，OA=OB，则P（a，a），进而得出k=a²，OC=OD=$\sqrt{2}$a，进一步得出AC=AE=BF=BD=（$\sqrt{2}$-1）a，然后根据tan∠AOE=$\frac{AE}{OA}$=$\sqrt{2}$-1，求得∠AOE=22.5°，从而求得∠EOF=45°，然后根据∠OCF=∠EOF=45°，∠OFC=∠EFO，即可证得△OCF∽△EOF；故③正确；要使CE+DF=EF，则必须2CE=EF，根据△ACE∽△PFE，则必须$\frac{AE}{PE}$=$\frac{CE}{EF}$=$\frac{1}{2}$，因为E是动点，$\frac{AE}{PE}$不是定值，故④错误．

解答 解：作EH⊥OB于H，FG⊥OA于G，如图，
设P（a，$\frac{k}{a}$），则E的纵坐标为$\frac{k}{a}$，F点的横坐标为a，
∵E、F点在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴E（a，$\frac{m}{a}$），F（$\frac{am}{k}$，$\frac{k}{a}$），
∴S_{四边形OEPF}=S_矩形-S_△AOE-S_△BOF=k-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$m=k-m；故①正确；
∵AE∥GF，
∴△ACE∽△GCF，
∴$\frac{CE}{CF}$=$\frac{AE}{GF}$=$\frac{\frac{am}{k}}{a}$=$\frac{m}{k}$，
∴$\frac{CE}{EF}$=$\frac{m}{k-m}$①，
∵BF∥EH，
∴△DBF∽△DHE，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{BF}{EH}$=$\frac{\frac{m}{a}}{\frac{k}{a}}$=$\frac{m}{k}$，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{m}{k-m}$②，
由①②得 $\frac{CE}{EF}$=$\frac{DF}{EF}$，
∴CE=DF，
∵PA∥OD，PB∥OC，
∴∠AEC=∠D，∠C=∠BFD，
在△AEC和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BFD}\\{CE=DF}\\{∠AEC=∠D}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BDF（ASA）；故②正确；
∵OC=OD=$\sqrt{2k}$，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
∴AC=AE，BF=BD，
∴OA=OB，
∴P（a，a），
∴k=a²，
∴OC=OD=$\sqrt{2}$a，
∴AC=AE=BF=BD=（$\sqrt{2}$-1）a，
∴tan∠AOE=$\frac{AE}{OA}$=$\sqrt{2}$-1，
∴∠AOE=22.5°，
同理：∠FOB=22.5°，
∴∠EOF=45°，
∵∠OCF=∠EOF=45°，∠OFC=∠EFO，
∴△OCF∽△EOF；故③正确；
∵CE=DF，
要使CE+DF=EF，则必须2CE=EF，
∵PB∥OC，
∴△ACE∽△PFE，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{CE}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∵点E、F分别是矩形的边PA，PB上的动点，
∴$\frac{AE}{PE}$不是定值，故④错误；
故选A．

点评 本题是四边形的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质；相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，用k表示出E、F两点的坐标，再根据三角形的面积公式求解是解答此题的关键．