Question

已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，则等腰△ABC的面积为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：分类讨论

分析：作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=

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2

BC=4，即AD垂直平分BC，根据垂径定理得到圆心O在AD上；连结OD，在Rt△OBC中利用勾股定理计算出OD=3，然后分类讨论：
当△ABC为锐角三角形时，AD=OA+OD=8；当△ABC为钝角三角形时，AD=OA-OD=2，再根据三角形面积公式分别进行计算．

解答：解：作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=

1

2

BC=4，
∴AD垂直平分BC，
∴圆心O在AD上，
连结OD，
在Rt△OBC中，∵BD=4，OB=5，
∴OD=

OB2-BD2

=3，
当△ABC为锐角三角形时，AD=OA+OD=5+3=8，此时S_△ABC=

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2

×8×8=32；
当△ABC为钝角三角形时，AD=OA-OD=5-3=2，此时S_△ABC=

1

2

×8×2=8．
故答案为32或8．

点评：本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．