Question

如图，在矩形ABCD中，点F在CB的延长线上，AE=EF，CF=CA，求证：BE⊥DE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,矩形的性质

专题：证明题

分析：如图，作辅助线；证明△EAB≌△EBC，得到∠AED=∠BEC（设为α）；证明CE⊥AF，得到∠BED=∠BEC+∠DEC=α+∠DEC=90°，即可解决问题．

解答：解：如图，连接CE；∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠ABF=90°；∠ABC=∠BAD；
∵AE=EF，
∴BE为△ABF斜边上的中线，
∴EA=EB，∠EAB=∠EBA，
∴∠EAB=∠EBC；在△EAB与△EBC中，

EA=EB ∠EAD=∠EBC AD=BC

，
∴△EAB≌△EBC（SAS），
∴∠AED=∠BEC（设为α），
∵CA=CF，AE=EF，
∴CE⊥AF，
∴∠CEA=∠DEC+α=90°，
∴∠BED=∠BEC+∠DEC=α+∠DEC=90°，
∴BE⊥DE．

点评：该题以矩形为载体，以全等三角形的判定及其性质、直角三角形斜边上的中线等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用全等三角形的判定及其性质、直角三角形斜边上的中线等几何知识来分析、判断、解答．