Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y₁=-

2

3

x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线y₂=kx+b经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分，若△ABO被直线CP分成面积之比为1：2，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：计算题

分析：先根据坐标轴上点的坐标特征求出B（0，2），A（3，0），再计算出S_△OAB=3，设P点的纵坐标为t，由于△ABO被直线CP分成面积之比为1：2，则分类讨论：当S_△PCA=

2

3

S_△ABC=2时，

1

2

•2•t=2，解得t=2，利用y₁=-

2

3

x+2得到P（0，2），然后利用待定系数法求出直线PC的解析式；当S_△PCA=

1

3

S_△ABC=1时，则

1

2

•2•t=1，解得t=1，利用y₁=-

2

3

x+2得P（

3

2

，1），然后利用待定系数法求出直线PC的解析式．

解答：解：把x=0代入y₁=-

2

3

x+2得y=2，则B点坐标为（0，2）；
把y=0代入y₁=-

2

3

x+2得-

2

3

x+2=0，解得x=3，则A点坐标为（3，0），
所以S_△OAB=

1

2

×2×3=3，
设P点的纵坐标为t，
因为△ABO被直线CP分成面积之比为1：2，
当S_△PCA=

2

3

S_△ABC=2时，
则

1

2

•AC•t=2，即

1

2

•2•t=2，解得t=2，
把y=2代入y₁=-

2

3

x+2得-

2

3

x+2=2，解得x=0，则P（0，2），
把P（0，2）、C（1，0）代入y=kx+b得

b=2 k+b=0

，解得

k=-2 b=2

，
所以直线PC的解析式为y=-2x+2；
当S_△PCA=

1

3

S_△ABC=1时，
则

1

2

•AC•t=1，即

1

2

•2•t=1，解得t=1，
把y=1代入y₁=-

2

3

x+2得-

2

3

x+2=1，解得x=

3

2

，则P（

3

2

，1），
把P（

3

2

，1）、C（1，0）代入y=kx+b得

3 2 k+b=1 k+b=0

，解得

k=2 b=-2

，
所以直线PC的解析式为y=2x-2，
综上所述，当点P的坐标为（0，2）时，直线CP的函数表达式为y=-2x+2；当点P的坐标为（

3

2

，1）时，直线CP的函数表达式为y=2x-2．

点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．